20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案(圓的方程)(已修改)
2025-08-06 23:27 本頁面
【正文】 高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵圓心在上，故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點(diǎn)．∴解之得：，．所以所求圓的方程為．解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為∴半徑．故所求圓的方程為．又點(diǎn)到圓心的距離為．∴點(diǎn)在圓外．說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓．圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或．又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3．若兩圓相切，則或．(1)當(dāng)時(shí)，或(無解)，故可得．∴所求圓方程為，或．(2)當(dāng)時(shí)，或(無解)，故．∴所求圓的方程為，或．說明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所以欲求圓的方程為，或．上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面的．例3 求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解：∵圓和直線與相切，∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點(diǎn)，∴圓心只能在直線上．設(shè)圓心∵到直線的距離等于，∴．化簡整理得．解得：或∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．∴所求圓的方程為或．說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．例 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程．解法一：設(shè)圓心為，半徑為．則到軸、軸的距離分別為和．由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．∴又圓截軸所得弦長為2．∴．又∵到直線的距離為∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)．這時(shí)有∴或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得．∴．∴．將代入上式得：．上述方程有實(shí)根，故，∴．將代入方程得．又 ∴．由知、同號(hào)．故所求圓的方程為或．說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共
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