方向?qū)?shù)與梯度(已修改)
2025-08-06 09:35 本頁面
【正文】 第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 二、方向?qū)?shù) 三、梯度 一、問題的提出 實例 ：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是 (1,1)， (5,1)， (1,3)， (5,3)．在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在 (3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點？ 問題的 實質(zhì) ：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行． 問題的提出 討論函數(shù) 在一點 P沿某一方向的變化率問題． ),( yxfz ?一、方向?qū)?shù) oyx?lP??x?y??P．引射線內(nèi)有定義，自點的某一鄰域在點設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),(00?).(),(, 00pUPlyyxxPlx???????上的另一點且為并設(shè)為的轉(zhuǎn)角軸正向到射線設(shè)?（如圖） .00 ???????????????ttbyytaxxbjaie，參數(shù)方程為為一單位向量，則它的設(shè)),(),(.,),(),(00yxftbytaxfzpptttepptetbtayyxxpp?????????????????且的有向距離到點表示點當(dāng) 沿著 趨于 時， P? Pl0( , ) ( , )limtf x ta y tb f x yt??? ? ?是否存在？ oyx?lP??x?y??P?0000000 0 0 00（ ， ）0 0 0 00（ ， ）定義 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義 是一非零向量 是與 同方向的單位向量 如果極限存在 則稱這極限為函數(shù)在點 沿方向 的方向?qū)?shù)，記為 ，即( , ) ( , ), , ( , ),( , ) ( , )lim,( , ) ( , )limltxytxyz f x y p x yl e a b lf x t a y
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