布朗運動及其應(yīng)用(已修改)
2025-07-10 09:41 本頁面
【正文】 隨機(jī)過程在金融領(lǐng)域的作用1240410114王穎淺談布朗運動在金融領(lǐng)域的應(yīng)用懸浮微粒永不停息地做無規(guī)則運動的現(xiàn)象叫做布朗運動 例如，在顯微鏡下觀察懸浮在水中的藤黃粉、花粉微粒，或在無風(fēng)情形觀察空氣中的煙粒、塵埃時都會看到這種運動。溫度越高，運動越激烈。作布朗運動的粒子非常微小，直徑約1~10微米， 在周圍液體或氣體分子的碰撞下，產(chǎn)生一種漲落不定的凈作用力，導(dǎo)致微粒的布朗運動。如果布朗粒子相互碰撞的機(jī)會很少，可以看成是巨大分子組成的理想氣體，則在重力場中達(dá)到熱平衡后，其數(shù)密度按高度的分布應(yīng)遵循玻耳茲曼分布。，并由此相當(dāng)精確地測定了阿伏伽德羅常量及一系列與微粒有關(guān)的數(shù)據(jù)。布朗運動的發(fā)現(xiàn)、實驗研究和理論分析間接地證實了分子的無規(guī)則熱運動，對于氣體動理論的建立以及確認(rèn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的原子性具有重要意義，并且推動統(tǒng)計物理學(xué)特別是漲落理論的發(fā)展。由于布朗運動代表一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，它的理論對于儀表測量精度限制的研究以及高倍放大電訊電路中背景噪聲的研究等有廣泛應(yīng)用。 這是1826年英國植物學(xué)家布朗（17731858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時發(fā)現(xiàn)的。后來把懸浮微粒的這種運動叫做布朗運動。不只是花粉和小炭粒，對于液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運動。 布朗的發(fā)現(xiàn)是一個新奇的現(xiàn)象，它的原因是什么？人們是迷惑不解的。在布朗之后，這一問題一再被提出，為此有許多學(xué)者進(jìn)行過長期的研究。一些早期的研究者簡單地把它歸結(jié)為熱或電等外界因素引起的。最早隱約指向合理解釋的是維納(1826——1896)，1863年他提出布朗運動起源于分子的振動，他還公布了首次對微粒速度與粒度關(guān)系的觀察結(jié)果。不過他的分子模型還不是現(xiàn)代的模型，他看到的實際上是微粒的位移，并不是振動。 到了70——80年代，一些學(xué)者明確地把布朗運動歸結(jié)為液體分子撞擊微粒的結(jié)果，這些學(xué)者有卡蓬內(nèi)爾、德爾索和梯瑞昂，還有耐格里。植物學(xué)家耐格里(1879)從真菌、細(xì)菌等通過空氣傳播的現(xiàn)象，認(rèn)為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯(lián)系到物理學(xué)中氣體分子以很高速度向各方向運動的結(jié)論，他推測在陽光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結(jié)果。他說：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來擲去，結(jié)果如同分子本身一樣能保持長久的懸浮?！辈贿^耐格里又放棄了這一可能達(dá)到正確解釋的途徑，他計算了單個氣體分子和塵埃微粒發(fā)生彈性碰撞時微粒的速度，結(jié)果要比實際觀察到的小許多數(shù)量級，于是他認(rèn)為由于氣體分子運動的無規(guī)則性，它們共同作用的結(jié)果不能使微粒達(dá)到觀察速度值，而在液體中則由于介質(zhì)和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運動的設(shè)想不能成為合適的解釋。 無規(guī)則行走（random walk） 定義：無規(guī)則行走就是隨機(jī)游走。其概念接近于布朗運動，是布朗運動的理想數(shù)學(xué)狀態(tài)。 核心概念：任何無規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對應(yīng)著一個擴(kuò)散運輸定律。 就這樣，布朗運動自發(fā)現(xiàn)之后，經(jīng)過多半個世紀(jì)的研究，人們逐漸接近對它的正確認(rèn)識。到本世紀(jì)初，先是愛因斯坦和斯莫盧霍夫斯基的理論，然后是貝蘭和斯維德伯格的實驗使這一重大的科學(xué)問題得到圓滿地解決，并首次測定了阿伏加德羅常數(shù)，這也就是為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據(jù)，這對基礎(chǔ)科學(xué)和哲學(xué)有著巨大的意義。從這以后，科學(xué)上關(guān)于原子和分子真實性的爭論即告終結(jié)。正如原先原子論的主要反對者奧斯特瓦爾德所說：“布朗運動和動力學(xué)假說的一致，已經(jīng)被貝蘭十分圓滿地證實了，這就使那怕最挑剔的科學(xué)家也得承認(rèn)這是充滿空間的物質(zhì)的原子構(gòu)成的一個實驗證據(jù)”。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家彭加勒在1913年總結(jié)性地說道：“貝蘭對原子數(shù)目的光輝測定完成了原子論的勝利”?！盎瘜W(xué)家的原子論現(xiàn)在是一個真實存在“。布朗運動代表了一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，它的理論在其他領(lǐng)域也有重要應(yīng)用。如對測量儀器的精度限度的研究；高倍放大電訊電路中的背景噪聲的研究等 布朗運動與分子熱運動不一樣，與溫度和粒子個數(shù)有關(guān)，溫度越高，布朗運動越劇烈，粒子越少，分子熱運動越劇烈。分子永不停息地做無規(guī)則的運動：分子永不停息地做無規(guī)則的運動。布朗運動、擴(kuò)散現(xiàn)象都說明了任何物質(zhì)的分子，不論在什么狀態(tài)下，都在做永不停息的無規(guī)則運動。分子的無規(guī)則運動與物質(zhì)的溫度有關(guān)，溫度越高，分子的無規(guī)則運動越劇烈。 將布朗運動與股票價格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起維納過程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認(rèn)為，股票市場是隨機(jī)波動的，隨機(jī)波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態(tài)。 布朗運動假設(shè)是現(xiàn)代資本市場理論的核心假設(shè)。現(xiàn)代資本市場理論認(rèn)為證券期貨價格具有隨機(jī)性特征。這里的所謂隨機(jī)性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構(gòu)成對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測基礎(chǔ)。同時不會出現(xiàn)驚人相似的反復(fù)。隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)定義是：在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性；在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是建立在概率空間上的概率模型，被認(rèn)為是概率論的動力學(xué)，即它的研究對象是隨時間演變的隨機(jī)現(xiàn)象。所以隨機(jī)行為是一種具有統(tǒng)計規(guī)律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達(dá)。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預(yù)測不相關(guān)。股價的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現(xiàn)價已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價格記錄。但是當(dāng)人們開始采用分形理論研究金融市場時，發(fā)現(xiàn)它的運行并不遵循布朗運動，而是服從更為一般的分?jǐn)?shù)布朗運動。布朗運動貫穿于金融領(lǐng)域中，在現(xiàn)代金融領(lǐng)域中占有重要地位。布朗運動指的是一種無相關(guān)性的隨機(jī)行走，滿足統(tǒng)計自相似性,即具有隨機(jī)分形的特征，但其時間函數(shù)(運動軌跡)卻是自仿射的?？捎煤瘮?shù)表示：如()(0)Xtt163。是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，則下列各個隨機(jī)函數(shù)也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。1）、21()(/)XtcXtc=（c＞0為常數(shù)，t≥0）2）、2()()()XtXthhX（h＞0為常數(shù)，t≥0）3）、13()(0)()0(0)tXttXtt具有以下主要特性：粒子的運動由平移及其轉(zhuǎn)移所構(gòu)
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