【正文】 文明創(chuàng)新求實進取數(shù)　學　史　上　的　三　次　危　機奇　妙　的　自　然　數(shù)π　的　歷　史 虛 數(shù) 不 虛數(shù)　的　由　來　和　發(fā)　展 數(shù) 系自 然 數(shù)整 數(shù)有 理 數(shù)引起數(shù)學危機的無理數(shù) 分形 自然幾何 　數(shù)　學　史　上　的　三　次　?！C無　理　數(shù)　的　發(fā)　現(xiàn)　──　第　一　次　數(shù)　學　危　機　　 　　大約公元前５世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為四藝，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的危機，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。 　　　　到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第５卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學危機對古希臘的數(shù)學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學思想上的一次巨大革命！ 無　窮　小　是　零　嗎??？　──　第　二　次　數(shù)　學　?！C　　　　18世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。 　　　　1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求xn的導數(shù)時，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，dx為逝去量的靈魂。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。 　　　　18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的，直觀的強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續(xù)就進行微分，不考慮導數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。 　　直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎(chǔ)。 ?！≌摗〉摹‘a(chǎn)　生　　第　三　次　數(shù)　學　危　機 　　　　數(shù)學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學分支，并且實際上集合論成了數(shù)學的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。 　　　　1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉？如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。 　　　　羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第２卷末尾寫道：一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。 　　承認無窮集合，承認無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。 　奇　妙　的　自　然　數(shù)　　1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……這些簡簡單單的自然數(shù)，是我們從呀呀學語開始就認識的。它們是那樣自自然然，因而顯得平淡無奇。但我們?nèi)绻J真研究一下這些數(shù)字，就會發(fā)現(xiàn)其中妙趣橫生。聰明的數(shù)學王子高斯在小學的時候就會巧算自然數(shù)列之和，這正是由于他對自然數(shù)有深刻的了解。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學讀書。數(shù)學老師是位從城里來的先生。他瞧不起窮人的孩子，從不認真教他們，甚至還打罵學生。有一天，他情緒很壞，一上課就命令學生做加法，從1一直加到100，誰算不到就不準回家。所有的孩子都急急忙忙地算起來，老師卻在一邊看小說，不一會兒，小高斯就算出了結(jié)果是5050。老師大吃一驚，奇怪他怎么算得這么快。原來，高斯并不是按1+2+3+4… …的順序計算的。而是把1到100一串數(shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每兩個數(shù)的和都是101。例如：1+100、2+93+98… …，直到50+51，和都是101。這樣，100個數(shù)正好是50對，因此，101 50就得出5050的總和了。從此，老師再也不敢輕視窮孩子們了。他還從城里買來書，送給高斯，熱心幫助他學數(shù)學，高斯進步得更快了。小高斯所用的方法，正是許多數(shù)學家經(jīng)過長期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。這個故事人人皆知，它說明努力發(fā)現(xiàn)和巧妙利用規(guī)律是多么重要。現(xiàn)在讓我們再看看自然數(shù)還有哪些有趣的性質(zhì)。 　　我們前面提到過完全數(shù)和友好數(shù)，除了這兩種有趣的數(shù)以外，自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為自守數(shù)。所謂自守數(shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是6。 例如：2121=421 212121=9261325325=1056256666=1296 　　這樣的結(jié)論是不是完全正確呢？我們可以用代數(shù)方法加以證明。讓我們以末尾是6的數(shù)為例。這樣的數(shù)可以表示成 ，這里a為任意自然數(shù)，那么：　　　　　　　　　　　　　　　 　　由于a是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見它的個位必定是6。高次方情況下也如此，證明從略。用同樣方法可以證明5結(jié)尾的數(shù)也是自守數(shù)?！　∪绻盐矓?shù)取到兩位，還有沒有自守的性質(zhì)呢？有。比如末尾是25和76的數(shù)就是自守數(shù)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　如果尾數(shù)取到三位、四位或更高位數(shù)，還能找到自守數(shù)嗎？經(jīng)過數(shù)學家的計算尋覓，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)為379370937109377109376……以及末尾是62062906289062289062……的數(shù)都是自守數(shù)。 　　讓我們再來看看自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。 　　奇數(shù)數(shù)列是1,3,5,7,… n ,… （n為項數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是2,4,6,8,… 2n ,…（n為項數(shù)）人們研究奇數(shù)，