【正文】 終能得到6174這個數(shù)。這個現(xiàn)象是意大利教授杜西在1930年發(fā)現(xiàn)的，所以叫作杜西現(xiàn)象。經(jīng)過計算，在前十萬個自然數(shù)中有5996個數(shù)就像196一樣很難得到回文數(shù)。 　　是不是所有的自然數(shù)都有這個性質(zhì)呢？不是。 　　　 154+451=605 　　　　回文數(shù)本身倒也沒有什么奇特。這張圖清楚地說明了為什么自然數(shù)中奇數(shù)數(shù)列各項之和等于項數(shù)的平方。 　　奇數(shù)數(shù)列是1,3,5,7,… n ,… （n為項數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是2,4,6,8,… 2n ,…（n為項數(shù)）人們研究奇數(shù)，發(fā)現(xiàn)如下的性質(zhì)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　這個結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明，不過相當(dāng)麻煩?！　∪绻盐矓?shù)取到兩位，還有沒有自守的性質(zhì)呢？有。讓我們以末尾是6的數(shù)為例。 　　我們前面提到過完全數(shù)和友好數(shù)，除了這兩種有趣的數(shù)以外，自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為自守數(shù)。他還從城里買來書，送給高斯，熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué)，高斯進步得更快了。而是把1到100一串?dāng)?shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每兩個數(shù)的和都是101。有一天，他情緒很壞，一上課就命令學(xué)生做加法，從1一直加到100，誰算不到就不準回家。聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時候就會巧算自然數(shù)列之和，這正是由于他對自然數(shù)有深刻的了解。 　　承認無窮集合，承認無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)。當(dāng)人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉？如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續(xù)就進行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，dx為逝去量的靈魂。危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！ 無　窮　小　是　零　嗎　？　──　第　二　次　數(shù)　學(xué)　危　機　　　　18世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分數(shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此。文明創(chuàng)新求實進取數(shù)　學(xué)　史　上　的　三　次　危　機奇　妙　的　自　然　數(shù)π　的　歷　史 這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時認識上的危機，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 　　　　1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀的爭論。 　　直到19世紀20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。 　　　　羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。 　奇　妙　的　自　然　數(shù)　　1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……這些簡簡單單的自然數(shù)，是我們從呀呀學(xué)語開始就認識的。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。所有的孩子都急急忙忙地算起來，老師卻在一邊看小說，不一會兒，小高斯就算出了結(jié)果是5050。例如：1+100、2+93+98… …，直到50+51，和都是101。小高斯所用的方法，正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。所謂自守數(shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。這樣的數(shù)可以表示成 ，這里a為任意自然數(shù)，那么：　　　　　　　　　　　　　　　 　　由于a是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見它的個位必定是6。比如末尾是25和76的數(shù)就是自守數(shù)。其實我們只要畫一張最簡單的方格圖，這個性質(zhì)就一目了然了。 　　自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì)： 2=12 2+4=6=23 2+4+6=12=34 2+4+6+8=20=45 … … 2+4+6+8+… +n =n（n+1） 　　不論用數(shù)學(xué)歸納法還是用畫圖方法也都能證明這個結(jié)論。不過人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù)，如果把它各位數(shù)字的順序倒置，再與原數(shù)相加，將得數(shù)再按上述步驟進行，經(jīng)過有限的步驟后必能得到一個回文數(shù)： 如：　95+59=154 例如三位數(shù)中的196似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。 　　讓我們再看一個有趣的數(shù)字現(xiàn)象：　　隨意取4個數(shù)，如8，3，12，5寫在圓周的四面。 　　在自然數(shù)中還有一些數(shù)，看起來貌不驚人，但卻十分特別，令人百思不得其解。 　　例如：1234這個數(shù)，我們用下列步聚運算：43211234=308787300378=835285322358=6174 　　再舉一例，如2883，則有： 88322388=1998 99811899=7982 98722789=7083 78300387=7443 74433447=3996 99633699=6264 66422466=4176 76411467=6174 　　對三位數(shù)字，用這個辦法最終將得到495。不過這算不上奇怪，拼拼湊湊，誰也弄得出來。 通常用希臘字母π 來表示。 　　在古代，實際上長期使用 π＝３這個數(shù)值，巴比倫、印度、中國都是如此。他專門寫了一篇論文《圓的度量》，用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比小于22/7而大于223/71 。直到1200年后，西方人才找到了類似的方法。 　　　　祖沖之的圓周率，保持了一千多年的世界記錄。 　　之后，西方數(shù)學(xué)家計算 π的工作，有了飛速的進展。到90年代初，用新的計算方法，算到的π 。 現(xiàn)在，我們知道對負數(shù)進行開方可以用來表示一個虛數(shù)。 　　　　實數(shù)、虛數(shù)這兩個詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637年率先提出來的。萊布尼茲稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物。 　數(shù)　的　由　來　和　發(fā)