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文明創(chuàng)新求實進取-wenkub

2023-07-08 13:53:42 本頁面
 

【正文】 終能得到6174這個數(shù)。這個現(xiàn)象是意大利教授杜西在1930年發(fā)現(xiàn)的,所以叫作杜西現(xiàn)象。經(jīng)過計算,在前十萬個自然數(shù)中有5996個數(shù)就像196一樣很難得到回文數(shù)。   是不是所有的自然數(shù)都有這個性質(zhì)呢?不是。     154+451=605     回文數(shù)本身倒也沒有什么奇特。這張圖清楚地說明了為什么自然數(shù)中奇數(shù)數(shù)列各項之和等于項數(shù)的平方。   奇數(shù)數(shù)列是1,3,5,7,… n ,… (n為項數(shù))偶數(shù)數(shù)列是2,4,6,8,… 2n ,…(n為項數(shù))人們研究奇數(shù),發(fā)現(xiàn)如下的性質(zhì):                            這個結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明,不過相當(dāng)麻煩?! ∪绻盐矓?shù)取到兩位,還有沒有自守的性質(zhì)呢?有。讓我們以末尾是6的數(shù)為例。   我們前面提到過完全數(shù)和友好數(shù),除了這兩種有趣的數(shù)以外,自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為自守數(shù)。他還從城里買來書,送給高斯,熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué),高斯進步得更快了。而是把1到100一串?dāng)?shù),從兩頭向中間,一頭一尾兩兩相加,每兩個數(shù)的和都是101。有一天,他情緒很壞,一上課就命令學(xué)生做加法,從1一直加到100,誰算不到就不準回家。聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時候就會巧算自然數(shù)列之和,這正是由于他對自然數(shù)有深刻的了解。   承認無窮集合,承認無窮基數(shù),就好像一切災(zāi)難都出來了,這就是第三次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)。當(dāng)人們試圖回答下列疑問時,就認識到了這種情況的悖論性質(zhì):理發(fā)師是否自己給自己刮臉?如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉;如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則。1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。其中特別是:沒有清楚的無窮小概念,從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性,符號的不嚴格使用,不考慮連續(xù)就進行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。他認為無窮小dx既等于零又不等于零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,dx為逝去量的靈魂。危機也表明,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命! 無 窮 小 是 零 嗎 ? ── 第 二 次 數(shù) 學(xué) 危 機    18世紀,微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用,大部分數(shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。他們認為:宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形,如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。文明創(chuàng)新求實進取數(shù) 學(xué) 史 上 的 三 次 危 機奇 妙 的 自 然 數(shù)π 的 歷 史 這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條,導(dǎo)致了當(dāng)時認識上的危機,從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。     1734年,英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論。無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀的爭論。   直到19世紀20年代,一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。     羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了。盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。  奇 妙 的 自 然 數(shù)  1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……這些簡簡單單的自然數(shù),是我們從呀呀學(xué)語開始就認識的。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。所有的孩子都急急忙忙地算起來,老師卻在一邊看小說,不一會兒,小高斯就算出了結(jié)果是5050。例如:1+100、2+93+98… …,直到50+51,和都是101。小高斯所用的方法,正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。所謂自守數(shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù),尾數(shù)不變。這樣的數(shù)可以表示成 ,這里a為任意自然數(shù),那么:                  由于a是自然數(shù),得到的結(jié)果也必定是自然數(shù),可見它的個位必定是6。比如末尾是25和76的數(shù)就是自守數(shù)。其實我們只要畫一張最簡單的方格圖,這個性質(zhì)就一目了然了。   自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì): 2=12 2+4=6=23 2+4+6=12=34 2+4+6+8=20=45 … … 2+4+6+8+… +n =n(n+1)   不論用數(shù)學(xué)歸納法還是用畫圖方法也都能證明這個結(jié)論。不過人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù),如果把它各位數(shù)字的順序倒置,再與原數(shù)相加,將得數(shù)再按上述步驟進行,經(jīng)過有限的步驟后必能得到一個回文數(shù): 如: 95+59=154 例如三位數(shù)中的196似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。   讓我們再看一個有趣的數(shù)字現(xiàn)象:  隨意取4個數(shù),如8,3,12,5寫在圓周的四面。   在自然數(shù)中還有一些數(shù),看起來貌不驚人,但卻十分特別,令人百思不得其解。   例如:1234這個數(shù),我們用下列步聚運算:43211234=308787300378=835285322358=6174   再舉一例,如2883,則有: 88322388=1998 99811899=7982 98722789=7083 78300387=7443 74433447=3996 99633699=6264 66422466=4176 76411467=6174   對三位數(shù)字,用這個辦法最終將得到495。不過這算不上奇怪,拼拼湊湊,誰也弄得出來。 通常用希臘字母π 來表示。   在古代,實際上長期使用 π=3這個數(shù)值,巴比倫、印度、中國都是如此。他專門寫了一篇論文《圓的度量》,用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比小于22/7而大于223/71 。直到1200年后,西方人才找到了類似的方法。     祖沖之的圓周率,保持了一千多年的世界記錄。   之后,西方數(shù)學(xué)家計算 π的工作,有了飛速的進展。到90年代初,用新的計算方法,算到的π 。 現(xiàn)在,我們知道對負數(shù)進行開方可以用來表示一個虛數(shù)。     實數(shù)、虛數(shù)這兩個詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637年率先提出來的。萊布尼茲稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物。  數(shù) 的 由 來 和 發(fā)
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