【正文】 第二章。解：多元聯(lián)合分布討論多個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合到一起的概率分布狀況，的聯(lián)合分布密度函數(shù)是一個(gè)p維的函數(shù)，而邊際分布討論是的子向量的概率分布，其概率密度函數(shù)的維數(shù)小于p。，寫出其聯(lián)合分布。解：設(shè)的均值向量為，協(xié)方差矩陣為，則其聯(lián)合分布密度函數(shù)為。 其中。求（1）隨機(jī)變量和的邊緣密度函數(shù)、均值和方差；（2）隨機(jī)變量和的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；（3）判斷和是否相互獨(dú)立。（1）解：隨機(jī)變量和的邊緣密度函數(shù)、均值和方差； 所以由于服從均勻分布，則均值為，方差為。同理，由于服從均勻分布，則均值為，方差為。（2）解：隨機(jī)變量和的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)； （3）解：判斷和是否相互獨(dú)立。和由于，所以不獨(dú)立。，已知其協(xié)方差矩陣S為對(duì)角陣，證明其分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。解： 因?yàn)榈拿芏群瘮?shù)為又由于則則其分量是相互獨(dú)立。 注：利用 , S 其中 在SPSS中求樣本均值向量的操作步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng)Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打開Descriptives對(duì)話框。將待估計(jì)的四個(gè)變量移入右邊的Variables列表框中。 Descriptives對(duì)話框2. 單擊Options按鈕，打開Options子對(duì)話框。在對(duì)話框中選擇Mean復(fù)選框，即計(jì)算樣本均值向量。單擊Continue按鈕返回主對(duì)話框。 Options子對(duì)話框3. 單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本均值向量，即樣本均值向量為（，，）。 樣本均值向量在SPSS中計(jì)算樣本協(xié)差陣的步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng)Analyze→Correlate→Bivariate，打開Bivariate Correlations對(duì)話框。將三個(gè)變量移入右邊的Variables列表框中。 Bivariate Correlations對(duì)話框2. 單擊Options按鈕，打開Options子對(duì)話框。選擇Crossproduct deviations and covariances復(fù)選框，即計(jì)算樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。單擊Continue按鈕，返回主對(duì)話框。 Options子對(duì)話框3. 單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)分析表。表中Covariance給出樣本協(xié)差陣。（另外，Pearson Correlation為皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，Sum of Squares and Crossproducts為樣本離差陣。） 漸近無偏性、有效性和一致性； 設(shè)總體服從正態(tài)分布，有樣本。由于是相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)向量之和，所以也服從正態(tài)分布。又所以。 方法1： 。方法2： 。故為的無偏估計(jì)。，試求的分布。證明： 設(shè)為一正交矩陣，即。令，所以。且有。所以獨(dú)立同分布。又因?yàn)橐驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗栽焦?，由于?dú)立同正態(tài)分布，所以，（1）已知且，求和的估計(jì)。（2）已知求和的估計(jì)。解：（1）， (2) 解之，得，第三章 試述多元統(tǒng)計(jì)分析中的各種均值向量和協(xié)差陣檢驗(yàn)的基本思想和步驟。其基本思想和步驟均可歸納為：答： 第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)和H1； 第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布； 第三，給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界 值，從而得到否定域； 第四，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看是否落入否定域中，以便對(duì)待判假設(shè)做出決策（拒絕或接受）。均值向量的檢驗(yàn)： 統(tǒng)計(jì)量 拒絕域均值向量的檢驗(yàn)：在單一變量中當(dāng)已知 當(dāng)未知 （作為的估計(jì)量）一個(gè)正態(tài)總體協(xié)差陣已知 協(xié)差陣未知 （） 兩個(gè)正態(tài)總體有共同已知協(xié)差陣 有共同未知協(xié)差陣 （其中 ）協(xié)差陣不等 協(xié)差陣不等 多個(gè)正態(tài)總體單因素方差 多因素方差 協(xié)差陣的檢驗(yàn)檢驗(yàn) 檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量 試述多元統(tǒng)計(jì)中霍特林分布和威爾克斯分布分別與一元統(tǒng)計(jì)中t分布和F分布的關(guān)系。答：（?。┗籼亓址植际莟分布對(duì)于多元變量的推廣。而若設(shè)，且與相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量的分布為非中心霍特林T2分布。若，且與相互獨(dú)立，令，則 。（2）威爾克斯分布在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常把統(tǒng)計(jì)量化為統(tǒng)計(jì)量進(jìn)而化為統(tǒng)計(jì)量，利用統(tǒng)計(jì)量來解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)問題。 與統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系統(tǒng)計(jì)量及分別任意任意1任意任意21任意任意2任意任意 試述威爾克斯統(tǒng)計(jì)量在多元方差分析中的重要意義。答：威爾克斯統(tǒng)計(jì)量在多元方差分析中是用于檢驗(yàn)均值的統(tǒng)計(jì)量。 用似然比原則構(gòu)成的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 給定檢驗(yàn)水平，查Wilks分布表，確定臨界值，然后作出統(tǒng)計(jì)判斷。第四章 簡(jiǎn)述歐幾里得距離與馬氏距離的區(qū)別和聯(lián)系。答： 設(shè)p維歐幾里得空間中的兩點(diǎn)X=和Y=。則歐幾里得距離為。歐幾里得距離的局限有①在多元數(shù)據(jù)分析中，其度量不合理。②會(huì)受到實(shí)際問題中量綱的影響。設(shè)X,Y是來自均值向量為，協(xié)方差為的總體G中的p維樣本。則馬氏距離為D(X,Y)=。當(dāng)即單位陣時(shí)，D(X,Y)==即歐幾里得距離。因此，在一定程度上，歐幾里得距離是馬氏距離的特殊情況，馬氏距離是歐幾里得距離的推廣。 試述判別分析的實(shí)質(zhì)。答：判別分析就是希望利用已經(jīng)測(cè)得的變量數(shù)據(jù)，找出一種判別函數(shù)，使得這一函數(shù)具有某種最優(yōu)性質(zhì)，能把屬于不同類別的樣本點(diǎn)盡可能地區(qū)別開來。設(shè)R1，R2，…，Rk是p維空間R p的k個(gè)子集，如果它們互不相交，且它們的和集為，則稱為的一個(gè)劃分。判別分析問題實(shí)質(zhì)上就是在某種意義上，以最優(yōu)的性質(zhì)對(duì)p維空間構(gòu)造一個(gè)“劃分”，這個(gè)“劃分”就構(gòu)成了一個(gè)判別規(guī)則。 簡(jiǎn)述距離判別法的基本思想和方法。答：距離判別問題分為①兩個(gè)總體的距離判別問題和②多個(gè)總體的判別問題。其基本思想都是分別計(jì)算樣本與各個(gè)總體的距離（馬氏距離），將距離近的判別為一類。①兩個(gè)總體的距離判別問題設(shè)有協(xié)方差矩陣∑相等的兩個(gè)總體G1和G2，其均值分別是m1和m 2，對(duì)于一個(gè)新的樣品X，要判斷它來自哪個(gè)總體。計(jì)算新樣品X到兩個(gè)總體的馬氏距離D2（X，G1）和D2（X，G2），則 X ，D2（X，G1）D2（X，G2）X ，D2（X，G1） D2（X，G2，具體分析， 記 則判別規(guī)則為 X ，W(X)X ，W(X)0②多個(gè)總體的判別問題。設(shè)有個(gè)總體，其均值和協(xié)方差矩陣分別是和，且。計(jì)算樣本到每個(gè)總體的馬氏距離，到哪個(gè)總體的距離最小就屬于哪個(gè)總體。具體分析， 取?？梢匀【€性判別函數(shù)為， 相應(yīng)的判別規(guī)則為 若 簡(jiǎn)述貝葉斯判別法的基本思想和方法。基本思想：設(shè)k個(gè)總體，其各自的分布密度函數(shù)，假設(shè)k個(gè)總體各自出現(xiàn)的概率分別為。設(shè)將本來屬于總體的樣品錯(cuò)判到總體時(shí)造成的損失為。設(shè)個(gè)總體相應(yīng)的維樣本空間為 。在規(guī)則下，將屬于的樣品錯(cuò)判為的概率為 則這種判別規(guī)則下樣品錯(cuò)判后所造成的平均損失為 則用規(guī)則來進(jìn)行判別所造成的總平均損失為 貝葉斯判別法則，就是要選擇一種劃分，使總平均損失達(dá)到極小?；痉椒ǎ毫?，則 若有另一劃分，則在兩種劃分下的總平均損失之差為 因?yàn)樵谏蠈?duì)一切成立，故上式小于或等于零，是貝葉斯判別的解。從而得到的劃分為 簡(jiǎn)述費(fèi)希爾判別法的基本思想和方法。答：基本思想：從個(gè)總體中抽取具有個(gè)指標(biāo)的樣品觀測(cè)數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個(gè)線性判別函數(shù) 系數(shù)可使得總體之間區(qū)別最大，而使每個(gè)總體內(nèi)部的離差最小。將新樣品的個(gè)指標(biāo)值代入線性判別函數(shù)式中求出值，然后根據(jù)判別一定的規(guī)則，就可以判別新的樣品屬于哪個(gè)總體。 試析距離判別法、貝葉斯判別法和費(fèi)希爾判別法的異同。答：① 費(fèi)希爾判別與距離判別對(duì)判別變量的分布類型無要求。二者只是要求有各類母體的兩階矩存在。而貝葉斯判別必須知道判別變量的分布類型。因此前兩者相對(duì)來說較為簡(jiǎn)單。② 當(dāng)k=2時(shí)，若則費(fèi)希爾判別與距離判別等價(jià)。當(dāng)判別變量服從正態(tài)分布時(shí)，二者與貝葉斯判別也等價(jià)。③ 當(dāng)時(shí)，費(fèi)希爾判別用作為共同協(xié)差陣，實(shí)際看成等協(xié)差陣，此與距離判別、貝葉斯判別不同。④ 距離判別可以看為貝葉斯判別的特殊情形。貝葉斯判別的判別規(guī)則是 X ，W(X)X ，W(X)lnd距離判別的判別規(guī)則是 X ，W(X)X ，W(X)0二者的區(qū)別在于閾值點(diǎn)。當(dāng)，時(shí)。二者完全相同。 設(shè)有兩個(gè)二元總體和 ，從中分別抽取樣本計(jì)算得到 , 假設(shè)，試用距離判別法建立判別函數(shù)和判別規(guī)則。 樣品X=（6，0）’應(yīng)屬于哪個(gè)總體？解：= ，= ， ==即樣品X屬于總體 某超市經(jīng)銷十種品牌的飲料，其中有四種暢銷，三種滯銷，三種平銷。下表是這十種品牌飲料的銷售價(jià)格（元）和顧客對(duì)各種飲料的口味評(píng)分、信任度評(píng)分的平均數(shù)。銷售情況產(chǎn)品序號(hào)銷售價(jià)格口味評(píng)分信任度評(píng)分暢銷158267339486平銷576687798滯銷8349421043⑴ 根據(jù)數(shù)據(jù)建立貝葉斯判別函數(shù)，并根據(jù)此判別函數(shù)對(duì)原樣本進(jìn)行回判。⑵ 現(xiàn)有一新品牌的飲料在該超市試銷，顧客對(duì)其口味的評(píng)分平均為8，信任評(píng)分平均為5，試預(yù)測(cè)該飲料的銷售情況。解：增加group變量，令暢銷、平銷、滯銷分別為group3；銷售價(jià)格為X1，口味評(píng)分為X2，信任度評(píng)分為X3，用spss 解題的步驟如下：1. 在SPSS窗口中選擇Analyze→Classify→Discriminate，調(diào)出判別分析主界面，將左邊的變量列表中的“group”變量選入分組變量中，將XXX3變量選入自變量中，并選擇Enter independents together單選按鈕，即使用所有自變量進(jìn)行判別分析。2. 點(diǎn)擊Define Range按鈕，定義分組變量的取值范圍。本例中分類變量的范圍為1到3，所以在最小值和最大值中分別輸入1和3。單擊Continue按鈕，返回主界面。 判別分析主界面3. 單擊Statistics…按鈕，指定輸出的描述統(tǒng)計(jì)量和判別函數(shù)系數(shù)。選中Function Coefficients欄中的Fisher’s：給出Bayes判別函數(shù)的系數(shù)。（注意：這個(gè)選項(xiàng)不是要給出Fisher判別函數(shù)的系數(shù)。這個(gè)復(fù)選框的名字之所以為Fisher’s，是因?yàn)榘磁袆e函數(shù)值最大的一組進(jìn)行歸類這種思想是由Fisher提出來的。這里極易混淆，請(qǐng)讀者注意辨別。）。單擊Continue按鈕，返回主界面。 statistics子對(duì)話框4. 單擊Classify…按鈕，彈出classification子對(duì)話框，選中Display選項(xiàng)欄中的Summary table復(fù)選框，即要求輸出錯(cuò)判矩陣，以便實(shí)現(xiàn)題中對(duì)原樣本進(jìn)行回判的要求。 classification對(duì)話框5. 返回判別分析主界面，單擊OK按鈕，運(yùn)行判別分析過程。1) 根據(jù)判別分析的結(jié)果建立Bayes判別函數(shù)：。表中每一列表示樣本判入相應(yīng)類的Bayes判別函數(shù)系數(shù)。由此可建立判別函數(shù)如下：Group1： Group2： Group3： 將各樣品的自變量值代入上述三個(gè)Bayes判別函數(shù)，得到三個(gè)函數(shù)值。比較這三個(gè)函數(shù)值，哪個(gè)函數(shù)值比較大就可以判斷該樣品判入哪一類。 Classification Function Coefficientsgroup123x1x2x3(Constant)Fisher39。s linear discriminant functions Ba