多元統(tǒng)計分析因子分析(已修改)
2025-05-30 23:14 本頁面
【正文】 1 第四章 因子分析 2 第一節(jié) 因子分析的基本思想 3 因子分析的基本思想 ? 因子分析是根據(jù)相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系，把一些具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的變量綜合為 數(shù)量較少的幾個因子。通過不同 因子 來分析決定某些 變量的本質(zhì) 及其 分類 的一種統(tǒng)計方法。 ? 簡單地說，就是根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，不同組的變量相關(guān)性較低。 每組變量代表一個基本結(jié)構(gòu) ，這個基本結(jié)構(gòu)稱為 因子 。 4 例如 ? 某機關(guān)對其職員就以下 6個方面進行考核，這 6個方面是職員的詞匯、閱讀、寫作能力，以及數(shù)字、代數(shù)、微積分的運算能力。而這 6個方面可歸結(jié)為職員的 語文 能力和 數(shù)學(xué) 能力兩個方面。 5 例如 ? 某公司與 48名申請工作的人進行面談，然后就申請人十五個方面進行打分，這 十五個方面 分別是： 申請書的形式、外貌、學(xué)術(shù)能力、討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠實、推銷能力、經(jīng)驗、工作積極性、抱負、理解能力、潛力、入圍公司的強烈程度、適應(yīng)性 。 這 15個方面可歸結(jié)為應(yīng)聘者的 外露能力、討人喜歡的能力、經(jīng)驗、專業(yè)能力 這 4個方面。 6 因子分析 (factor analysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而假想變量是不可觀測的潛在變量，稱為因子。 例如，在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有 24個指標構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的 24個方面的優(yōu)劣。 7 但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的 環(huán)境 、商店的 服務(wù) 和 商品的價格 。因子分析方法可以通過 24個變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店進行綜合評價。 而這三個公共因子可以表示為： iiiii FFFX ???? ???? 33221124,1 ??i 稱 是不可觀測的 潛在因子 。 24個變量共享這三個因子 ， 但是每個變量又有自己的個性 ，不被 包含的部分 ， 稱為 特殊因子 。 321 FFF 、i?8 注意： ? 因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實際意義。 ? 主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。 ? 主成分分析：原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分。 ? 因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量。 9 第二節(jié) 因子分析模型 一 、 數(shù)學(xué)模型 )(2211 pmFaFaFaX imimiii ?????? ?? 設(shè) 個變量 ， 如果表示為 iX ),2,1( pi ??p????????????????????????????????????????????????????????pmpmppmmp FFFaaaaaaaaaXXX????????????212121222211121121??? AFX10 稱為 公共因子 ， 是不可觀測的變量 ，他們的系數(shù)稱為因子載荷 。 是特殊因子 ， 是不能被前 m個公共因子包含的部分 。 并且滿足： mFFF , 21 ?i?c o v ( , ) 0 ,F ? ??,F 即不相關(guān)； 1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )c ov ( ) ( )( ) ( ) ( )ppp p p pE F E F E FE F E F E FEE F E F E F? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ?????F, ε F ε 011 IFD ??????????????111)(?mFFF , 21 ?即 互不相關(guān)，方差為 1。 12 ?????????????22221)(pD?????即互不相關(guān) ， 方差不一定相等 ， 。 ),0(~ 2ii N ??13 用矩陣的表達方式 ??? AFXIFDFE ?? )(,0)(1 ）（),()(,0)()2( 22221 pd i a gDE ????? ???0),c o v ()3( ??F14 因子載荷 aij 的統(tǒng)計意義 因子載荷 是第 i個變量與第 j個公共因子的相關(guān)系數(shù) ija模型為 imimii FaFaX ????? ?11),co v (),co v (1jikmkikji FFaFX ??? ??ijFx aji ?? （ 載荷矩陣中第 i行 ， 第 j列的元素 ） 反映了第 i個變量與第 j個公共因子的相關(guān)性 。 絕對值越大 ，相關(guān)的密切程度越高 。 ),co v (,co v (1jijkmkik FFFa ??? ??ija? 根據(jù)公共因子的模型性質(zhì) ， 有 三 、 因子載荷矩陣中的幾個統(tǒng)計特征 15 ? 因子載荷不是惟一的 ??? AFX**c ov ( ) ( )E ???F, ε F ε 0且滿足因子模型的條件 ??? ** FA???? ))(( FTATFTF ??*設(shè) T為一個 p p 的正交矩陣，令A(yù)*=AT， ，則模型可以表示為 0)()()( * ????? FETFTEFEITFDTFTDFD ????? )()()( *),()(,0)( 22221 pdi agDE ????? ???16 變量共同度的統(tǒng)計意義 統(tǒng)計意義 ： imimii FaFaX ????? ?11 兩邊求方差 )()()()( 2121 imimii V a rFV a raFV a raXV a r ????? ????? mj iija1221 ? 所有的公共因子和特殊因子對變量 的貢獻為 1。 如果 非常靠近 1， 非常小 ， 則因子分析的效果好 ， 從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好 。 iX ??mj ija122i?定義：變量 的共同度是因子載荷矩陣的第 i行的元素的平方和 。 記為 iX。??? mj iji ah 1 2217 公共因子 方差貢獻的統(tǒng)計意義 jF因子載荷矩陣中各列元素的平方和 稱為所有的 對 的方差貢獻和
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