倍角公式的應(yīng)用(已修改)
2024-11-22 15:14 本頁面
【正文】 倍角公式的應(yīng)用 [回顧上節(jié) ] sin2α=2sinαcosα 1. cos2α=cos2αsin2α =2cos2α1 =12sin2α 2. tan2α= 2tanα 1tan2α 3. 注意：對于 3式中 α≠π/4+（ π/2） k且 α ≠ π/2+kπ， （ k∈ z） [例 1] 把一段半徑為 R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面最大（分別設(shè)邊與角為自變量，并比較兩種解法）？ 分析：找出問題的兩個變量（自變量和函數(shù)值），建立函數(shù)關(guān)系。 θ 。 A B C D 解：先設(shè)角 θ為自變量（如圖），面積 S=AB。 CB。 則 AB=2Rcosθ， CB=2Rsinθ 所以 S=AB 。 CB=4R2sin θ cos θ 即： S=2R2 sin2 θ 因為 sin2 θ ≤1，所以 S≤2R 2 當(dāng)且僅當(dāng) sin2 θ =1時， S有最大值 2R2 即 ：當(dāng)且僅當(dāng) 2 θ =90。 時，即 θ =45 。 時（ AB=BC），S有最大值，此時矩形為圓內(nèi)接正方形。 θ 。 A B C D ι 另解：設(shè)邊 AB= ι，則： AC=2R， BC= √ 4R2 ι2 所以， S= ι。 √ 4R2 ι2 即： S2= ι2（ 4R2 － ι2） = － （ ι2） 2 + 4R2 。 （ ι2） 當(dāng)且僅當(dāng) （ ι2） =（ － 4R2） /（ － 2） =2R2時， S2有最大值 4R4， 即： ι = 2 R時， S有最大值 ，BC= 4R2 ι2 = 2 R= ι,四邊形 ABCD為正方形 . 說明：請同學(xué)們比較課本 44頁 5（ 1）、（ 2）的證明 . 證明： （ 1）在倍角公式 cos2α =1 2sin2α中，以 α代 2α ，則： Cosα=1 － 2 sin2 α 2 sin2 α 2 =
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