【正文】 167。 特殊的平行四邊形 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) A組 20222022年河北中考題組 五年中考 1.(2022河北 ,9,3分 )求證 :菱形的兩條對角線互相垂直 . 已知 :如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,對角線 AC,BD交于點(diǎn) O. 求證 :AC⊥ BD. 以下是排亂的證明過程 : ① 又 BO=DO, ② ∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ BD. ③ ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ④ ∴ AB=AD. 證明步驟正確的順序是 ? ( ) A.③ → ② → ① → ④ B.③ → ④ → ① → ② C.① → ② → ④ → ③ D.① → ④ → ③ → ② 答案 B 證明 :∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AB=AD,又 BO=DO,∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ 確的順序是③ → ④ → ① → ② ,故選 B. 2.(2022河北 ,6,3分 )關(guān)于 ?ABCD的敘述 ,正確的是 ? ( ) AB⊥ BC,則 ?ABCD是菱形 AC⊥ BD,則 ?ABCD是正方形 AC=BD,則 ?ABCD是矩形 AB=AD,則 ?ABCD是正方形 答案 C 若 AB⊥ BC,則 ?ABCD是矩形 ,不是菱形 ,選項(xiàng) A不正確 。若 AC⊥ BD,則 ?ABCD是菱 形 ,不一定是正方形 ,選項(xiàng) B不正確 。若 AC=BD,則 ?ABCD是矩形 ,選項(xiàng) C正確 。若 AB=AD,則 ? ABCD是菱形 ,但不一定是正方形 ,選項(xiàng) D不正確 . 思路分析 由菱形、矩形、正方形的判定方法得出選項(xiàng) A、 B、 D錯(cuò)誤 ,C正確 . 解題關(guān)鍵 本題考查特殊平行四邊形的判定方法 ,熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法 是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022河北 ,16,2分 )如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片 ,將它們分別沿著虛線剪開后 ,各自要 拼一個(gè)與原來面積相等的正方形 ,則 ? ( ) ? ? 、乙都可以 、乙都不可以 ,乙可以 ,乙不可以 答案 A 將甲紙片拼成如圖 1所示的正方形 ,其面積與原來矩形的面積相等 ,將乙紙片拼成如 圖 2所示的正方形 ,其面積與原來矩形的面積相等 ,故選 A. 圖 1 圖 2 思路分析 根據(jù)圖形可得題圖甲中的圖形可以拼成一個(gè)邊長為 ? 的正方形 ,題圖乙中的圖形 可以拼一個(gè)邊長為 ? 的正方形 . 25解題關(guān)鍵 本題考查了圖形的剪拼 ,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形 . 4.(2022河北 ,8,3分 )如圖 ,將長為 寬為 1的矩形紙片分割成 n個(gè)三角形后 ,拼成面積為 2的正方 形 ,則 n≠ ? ( ) ? 答案 A 若 n=2,則只能沿矩形的對角線剪開 ,這樣每個(gè)三角形的三邊長分別為 1,2,? ,顯然 不能拼成面積為 2的正方形 ,故選 A. 55.(2022河北 ,23,11分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=40176。,將△ ABC繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 10 0176。得到△ ADE,連接 BD,CE交于點(diǎn) F. (1)求證 :△ ABD≌ △ ACE。 (2)求 ∠ ACE的度數(shù) 。 (3)求證 :四邊形 ABFE是菱形 . ? 解析 (1)證明 :如圖 , 由旋轉(zhuǎn)可知 AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=100176。. ∵ AB=AC,∴ AD=AE.∴ △ ABD≌ △ ACE.? (4分 ) (2)∵ AC=AE,∠ CAE=100176。,∴∠ 2=∠ 3=40176。, 即 ∠ ACE=40176。.? (7分 ) (3)證明 :∵∠ 1=∠ 2=40176。,∴ AB∥ CE. 同樣有 ∠ 4=∠ 5,則 AE∥ BD. ∴ 四邊形 ABFE為平行四邊形 .? (9分 ) ∵ AB=AD,AD=AE,∴ AB=AE.? (10分 ) ∴ 四邊形 ABFE為菱形 .? (11分 ) 思路分析 (1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知 AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE,由 AB=AC得 AD=AE,然后利用 “邊角邊”證明△ ABD和△ ACE全等 .(2)根據(jù) AC=AE,∠ CAE=100176。,得 ∠ ACE=∠ AEC=40176。.(3) 根據(jù)定義 ,可證得四邊形 ABFE是平行四邊形 ,然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ,即可得證 . 評析 此題考查全等三角形的判定 ,等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 菱形的性質(zhì)與判定 1.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 3 5答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA,∴ AB=? =? OA,易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故 選 D. 12 1222OB OA? 5 5思路分析 首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理 得出 EF=? AC,EH=? BD,進(jìn)而得到 OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得 AB=? OA,即得 AB=? EF. 12 125 52.(2022湖南長沙 ,10,3分 )如圖 ,菱形 ABCD的對角線 AC、 BD的長分別為 6 cm、 8 cm,則這個(gè)菱 形的周長為 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 D 根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分 ,可知 OA=3 cm,OB=4 cm,且 OA⊥ OB,在 Rt△ AOB 中 ,根據(jù)勾股定理可得 AB=5 cm,所以菱形 ABCD的邊長為 5 cm,所以菱形 ABCD的周長為 45=2 0 cm. 方法總結(jié) 已知菱形兩條對角線的長求菱形的周長時(shí) ,利用菱形的對角線互相垂直平分 ,并結(jié) 合勾股定理即可求解 . 3.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,添加下列條件 ? 判定 ? ABCD是菱形的只有 ? ( ) ? ⊥ BD =BC =BD D.∠ 1=∠ 2 ??不 能答案 C 根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得選項(xiàng) A正確 。根據(jù)一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形可得選項(xiàng) B正確 。對角線相等的平行四邊形為矩形 ,故選項(xiàng) C錯(cuò)誤 。因?yàn)?CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1=∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D正確 .故選 C. 4.(2022甘肅蘭州 ,10,4分 )如圖 ,菱形 ABCD中 ,AB=4,∠ B=60176。,AE⊥ BC,AF⊥ CD,垂足分別為 E,F, 連接 EF,則△ AEF的面積是 ? ( ) ? ? ? ? D.? 3 3 3 3答案 B 連接 AC,在菱形 ABCD中 ,AB=BC,∵∠ B=60176。,∴ △ ABC是等邊三角形 ,∵ AE⊥ BC,∴ AE=2? ,∠ EAC=30176。,同理可得 AF=2? ,∠ CAF=30176。,則△ EAF為等邊三角形 ,∴ S△ AEF=? (2 ? )2=3? .故選 B. 3 3343 35.(2022江蘇南京 ,16,2分 )如圖 ,菱形 ABCD的面積為 120 cm2,正方形 AECF的面積為 50 cm2,則菱 形的邊長為 cm. 答案 13 解析 連接 BE,EF,FD,AC, ∵ 菱形、正方形為軸對稱圖形 ,對角線所在直線是其對稱軸 , ∴ B,E,F,D在同一條直線上 , ∵ S正方形 AECF=? ACEF=? AC2=50 cm2,∴ AC=10 cm, ∵ S菱形 ABCD=? ACBD=120 cm2,∴ BD=24 cm. 設(shè) AC,BD的交點(diǎn)為 O,由菱形的性質(zhì)可得 AC⊥ BD,AO=5 cm,OB=12 cm,∴ AB=? = ? =13 cm. 12 121222OA OB?225 12?評析 本題考查了四邊形的綜合問題 ,熟悉正方形和菱形的性質(zhì) ,會(huì)用勾股定理求線段的長度 是解題的關(guān)鍵 ,屬中檔題 . 6.(2022浙江杭州 ,14,4分 )在菱形 ABCD中 ,∠ A=30176。,在同一平面內(nèi) ,以對角線 BD為底邊作頂角為 120176。的等腰三角形 BDE,則 ∠ EBC的度數(shù)為 . 答案 45176?；?105176。 解析 根據(jù)題意 ,知點(diǎn) E所在位置有兩種可能 ,在 DB的左邊或右邊 ,如圖 . ? ∵ 在菱形 ABCD中 ,∠ A=30176。, ∴∠ ADC=∠ ABC=150176。,BD平分 ∠ ADC,∠ ABC, ∴∠ ADB=∠ ABD=∠ CDB=∠ CBD=75176。, 又 ∵ 以 DB為底邊的等腰三角形 DBE的頂角 ∠ DEB=120176。, ∴∠ EDB=∠ EBD=30176。, ∴∠ EBC=75176。30176。=45176?；?∠ EBC=30176。+75176。=105176。. 評析 本題考查菱形的有關(guān)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì) ,以及分類討論思想 . 7.(2022江西 ,13,3分 )如圖 ,是將菱形 ABCD以點(diǎn) O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn) 90176。,180176。,270176。后 形成的圖形 .若 ∠ BAD=60176。,AB=2,則圖中陰影部分的面積為 . ? 答案 124? 3解析 連接 OB,OA,作 AE⊥ OB,可得 ∠ BOA=45176。,∠ EAO=45176。,進(jìn)而可得 AE=? ,BE=1,OE=AE=? ,所以 S△ OAD=S△ OABS△ ABD=? ,所以 S陰影 =8S△ OAD=124? . 3 3332? 38.(2022北京 ,21,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ DC,AB=AD,對角線 AC,BD交于點(diǎn) O,AC平分 ∠ BAD,過點(diǎn) C作 CE⊥ AB交 AB的延長線于點(diǎn) E,連接 OE. (1)求證 :四邊形 ABCD是菱形 。 (2)若 AB=? ,BD=2,求 OE的長 . 5解析 (1)證明 :∵ AB∥ CD, ∴∠ OAB=∠ DCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAB=∠ DAC, ∴∠ DCA=∠ DAC, ∴ CD=AD. 又 ∵ AB=AD,∴ AB=CD,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 ∵ CD=AD=AB,∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)∵ 四邊形 ABCD為菱形 , ∴ OA=OC,BD⊥ AC. ∵ CE⊥ AE,∴ OE=AO=OC. ∵ BD=2,∴ OB=? BD=1. 在 Rt△ AOB中 ,AB=? ,OB=1, ∴ OA=? =2,∴ OE=2. 12522AB OB?9.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD為一條對角線 ,AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90176。,E 為 AD的中點(diǎn) ,連接 BE. (1)求證 :四邊形 BCDE為菱形 。 (2)連接 AC,若 AC平分 ∠ BAD,BC=1,求 AC的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ E為 AD的中點(diǎn) , ∴ AD=2ED.∵ AD=2BC,∴ ED=BC. ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 BCDE為平行四邊形 . 又 ∵ 在△ ABD中 ,E為 AD的中點(diǎn) ,∠ ABD=90176。, ∴ BE=ED,∴ ?BCDE為菱形 . (2)設(shè) AC與 BE交于點(diǎn) H,如圖 . ∵ AD∥ BC,∴∠ DAC=∠ ACB. ∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC, ∴∠ BAC=∠ ACB,∴ BA=BC, 由 (1)可知 ,BE=AE=BC, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴∠ BAC=30176。,AC⊥ BE,∴ AH=CH. 在 Rt△ ABH中 ,AH=ABcos∠ BAH=? , 32∴ AC=2AH=? . 310.(2022江西南昌 ,20,8分 ) (1)如圖 1,紙片 ?ABCD中 ,AD=5,S?ABCD= A作 AE⊥ BC,垂足為 E,沿 AE剪下△ ABE,將它平 移至△ DCE39。的位置 ,拼成四邊形 AEE39。D,則四邊形 AEE39。D的形狀為 ? ( ) (2)如圖 2,在 (1)中的四邊形紙片 AEE39。D中 ,在 EE39。上取一點(diǎn) F,使 EF=4,剪下△ AEF,將它平移至△ DE39。F39。的位置 ,拼成四邊形 AFF39。D. ① 求證 :四邊形 AF