【正文】 第三章 變量與函數(shù) 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (福建專用 ) A組 20222022年福建中考題組 五年中考 1.(2022福州 ,11,3分 )已知點 A(1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一個函數(shù)圖象上 ,這個函數(shù)圖象可以是 ? ( ) ? 答案 C ∵ 點 A(1,m),B(1,m), ∴ 點 A與 B關(guān)于 y軸對稱 ,故 A,B錯誤 。 ∵ B(1,m),C(2,m+1),m+1m, ∴ C正確 ,D錯誤 .故選 C. 2.(2022福州 ,10,3分 )已知一個函數(shù)圖象經(jīng)過 (1,4),(2,2)兩點 ,在自變量 x的某個取值范圍內(nèi) ,都 有函數(shù)值 y隨 x的增大而減小 ,則符合上述條件的函數(shù)可能是 ? ( ) 答案 D 易知經(jīng)過點 (1,4),(2,2)的直線不經(jīng)過原點 ,所以所求函數(shù)不是正比例函數(shù) ,A不符合 題意 。若為一次函數(shù)或反比例函數(shù) ,則在自變量 x的某個取值范圍內(nèi) ,函數(shù)值 y隨 x的增大而增大 , 所以 B、 C不符合題意 。只有 D正確 ,故選 D. 3.(2022南平 ,14,4分 )寫出一個 y關(guān)于 x的二次函數(shù)的解析式 ,且它的圖象的頂點在 y軸上 : . 答案 y=x2(答案不唯一 ) 解析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點在 y軸上 ,可得解析式的一次項系數(shù)為 0,進而得出答案 . 4.(2022廈門 ,15,4分 )已知點 P(m,n)在拋物線 y=ax2xa(a≠ 0)上 ,當(dāng) m≥ 1時 ,總有 n≤ 1成立 ,則 a的 取值范圍是 . 答案 ? ≤ a0 12解析 根據(jù)已知條件 ,畫出函數(shù)大致圖象 ,如圖所示 . 由已知得 ? 解得 ? ≤ a0. 0,11,21 1 ,aaaa??? ??? ? ???? ? ???125.(2022福建 ,23,10分 )如圖 ,在足夠大的空地上有一段長為 a米的舊墻 MN,某人利用舊墻和木欄 圍成一個矩形菜園 ABCD,其中 AD≤ ,另三邊一共用了 100米木 欄 . (1)若 a=20,所圍成的矩形菜園的面積為 450平方米 ,求所利用舊墻 AD的長 。 (2)求矩形菜園 ABCD面積的最大值 . ? 解析 (1)設(shè) AD的長為 x米 ,則 AB的長為 ? 米 . 依題意 ,得 ? =450. 解得 x1=10,x2=90. 因為 a=20,x≤ a,所以 x=90不合題意 ,舍去 . 故所利用舊墻 AD的長為 10米 . (2)設(shè) AD的長為 x米 ,0x≤ a,則矩形菜園 ABCD的面積 S=? =? (x2100x)=? (x50)2+1 250. ① 若 a≥ 50,則當(dāng) x=50時 ,S最大 ,S最大 =1 250. ② 若 0a50,則當(dāng) 0x≤ a時 ,S隨 x的增大而增大 . 故當(dāng) x=a時 ,S最大 ,S最大 =50a? a2. 綜上 ,當(dāng) a≥ 50時 ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 1 250平方米 。 當(dāng) 0a50時 ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 ? 平方米 . 1002 x?(100 )2xx?(100 )2xx?12 12122150 2aa???????解后反思 本題考查一元二次方程、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識 ,考查運算能力、推理能力、應(yīng)用 意識、創(chuàng)新意識 ,考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想 . 6.(2022福建 ,25,14分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c過點 A(0,2). (1)若點 (? ,0)也在該拋物線上 ,求 a,b滿足的關(guān)系式 。 (2)若該拋物線上任意不同兩點 M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足 :當(dāng) x1x20時 ,(x1x2)(y1y2)0。當(dāng) 0x1x2時 , (x1x2)(y1y2) O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為 B,C,且△ ABC有一個 內(nèi)角為 60176。. ① 求拋物線的解析式 。 ② 若點 P與點 O關(guān)于點 A對稱 ,且 O,M,N三點共線 ,求證 :PA平分 ∠ MPN. 2解析 (1)因為拋物線過點 A(0,2),所以 c=2. 又因為點 (? ,0)也在拋物線上 ,所以 a(? )2+b(? )+c=0. 即 2a? b+2=0(a≠ 0). (2)① x1x20時 ,x1x20, 由 (x1x2)(y1y2)0,得 y1y20, 即當(dāng) x0時 ,y隨 x的增大而增大 。 同理可得 ,當(dāng) x0時 ,y隨 x的增大而減小 . 所以拋物線的對稱軸為 y軸且開口向下 ,則 b=0. 因為以 O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點 B,C,所以△ ABC是等腰三角形 ,又因為△ ABC有一個內(nèi)角為 60176。,故△ ABC為等邊三角形 . 設(shè)線段 BC與 y軸的交點為 D,則 BD=CD,且 ∠ OCD=30176。, 又因為 OC=OA=2,所以 CD=OCcos 30176。=? ,OD=OCsin 30176。=1. 不妨設(shè) C在 y軸右側(cè) ,則點 C坐標(biāo)為 (? ,1). 因為點 C在拋物線上 ,且 c=2,b=0,所以 3a+2=1,解得 a=1. 2 2 2233所以所求拋物線的解析式為 y=x2+2. ? ② 證明 :設(shè)點 M的坐標(biāo)為 (x1,? +2),點 N的坐標(biāo)為 (x2,? +2). 直線 OM的解析式為 y=k1x, 因為 O,M,N三點共線 ,所以 x1≠ 0,x2≠ 0,且 ? =? , 即 x1+? =x2+? ,化為 x1x2=? , 由 x1≠ x2,得 x1x2=2,即 x2=? , 所以點 N的坐標(biāo)為 ? , 設(shè)點 N關(guān)于 y軸的對稱點為點 N39。, 21x 22x2112x x?? 2222x x??12x22x 12122( )xxxx?12x21124,2xx??? ? ?????則點 N39。的坐標(biāo)為 ? . 因為點 P與點 O關(guān)于點 A對稱 , 所以 OP=2OA=4,即點 P坐標(biāo)為 (0,4). 設(shè)直線 PM的解析式為 y=k2x+4, 因為點 M的坐標(biāo)為 (x1,? +2), 所以 ? +2=k2x1+4,則 k2=? , 即直線 PM的解析式為 y=? x+4. 因為 ? ? +4=? =? +2, 即點 N39。在直線 PM上 ,所以 PA平分 ∠ MPN. 21124,2xx????????21x21x 2112x x?2112x x?2112x x?12x2211212( 2) 4xxx? ? ?214x解后反思 本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與 性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的判定等基礎(chǔ)知識 ,考查運算能力、推理能力、空間觀念與 幾何直觀、創(chuàng)新意識 ,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 7.(2022福建 ,25,14分 )已知直線 y=2x+m與拋物線 y=ax2+ax+b有一個公共點 M(1,0),且 ab. (1)求拋物線頂點 Q的坐標(biāo) (用含 a的代數(shù)式表示 )。 (2)說明直線與拋物線有兩個交點 。 (3)直線與拋物線的另一個交點記為 N. (i)若 1≤ a≤ ? ,求線段 MN長度的取值范圍 。 (ii)求△ QMN面積的最小值 . 12解析 (1)因為拋物線過點 M(1,0),所以 a+a+b=0,即 b=2a. 所以 y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a? ? , 所以拋物線頂點 Q的坐標(biāo)為 ? . (2)因為直線 y=2x+m經(jīng)過點 M(1,0), 所以 0=21+m,解得 m=2. 把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a,得 ax2+(a2)x2a+2=0,① 所以 Δ=(a2)24a(2a+2)=9a212a+4, 由 (1)知 b=2a,又 ab,所以 a0,b0. 所以 Δ0,所以方程①有兩個不相等的實數(shù)根 , 故直線與拋物線有兩個交點 . (3)把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a, 得 ax2+(a2)x2a+2=0,即 x2+? x2+? =0, 所以 ? =? ,解得 x1=1,x2=? 2, 212x???????94a19,24a????????21 a???????2a2112x a??????????????2132a??????? 2a所以點 N? . (i)根據(jù)勾股定理得 ,MN2=? +? =? ? +45=20? , 因為 1≤ a≤ ? , 由反比例函數(shù)的性質(zhì)知 2≤ ? ≤ 1,所以 ? ? 0, 所以 MN=2? ? =3? ? , 所以 5? ≤ MN≤ 7? . (ii)作直線 x=? 交直線 y=2x2于點 E. ? 把 x=? 代入 y=2x2得 ,y=3,即 E? . 242, 6aa????????22 21a??????????????24 6a???????220a 60a 2132a???????121a 1a 325 312 a???????5 25a5 51212 1 ,32????????又因為 M(1,0),N? ,且由 (2)知 a0, 所以△ QMN的面積 S=S△ QEN+S△ QEM=? ? ? =? ? ? . 即 27a2+(8S54)a+24=0,② 因為關(guān)于 a的方程②有實數(shù)根 , 所以 Δ=(8S54)242724≥ 0,即 (8S54)2≥ (36? )2, 又因為 a0,所以 S=? ? ? ? ,所以 8S540, 所以 8S54≥ 36? ,即 S≥ ? +? , 當(dāng) S=? +? 時 ,由方程②可得 a=? 滿足題意 . 故當(dāng) a=? ,b=? 時 ,△ QMN面積的最小值為 ? +? .e2 242, 6aa????????122 21a????????9 ( 3)4a? ? ? 274 3a 278 a2274 3a 278 a 2742274 922274 922 223223 423 2749228.(2022福州 ,27,13分 )已知 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)經(jīng)過原點 ,頂點為 A(h,k)(h≠ 0). (1)當(dāng) h=1,k=2時 ,求拋物線的解析式 。 (2)若拋物線 y=tx2(t≠ 0)也經(jīng)過 A點 ,求 a與 t之間的關(guān)系式 。 (3)當(dāng)點 A在拋物線 y=x2x上 ,且 2≤ h1時 ,求 a的取值范圍 . 解析 根據(jù)題意 ,拋物線的解析式可化為 y=a(xh)2+k(a≠ 0). (1)∵ h=1,k=2, ∴ y=a(x1)2+2, ∵ 該拋物線經(jīng)過原點 , ∴ a+2=0, 解得 a=2, ∴ y=2(x1)2+2,即 y=2x2+4x. (2)∵ 拋物線 y=tx2(t≠ 0)經(jīng)過點 A(h,k),∴ k=th2. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+th2. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+th2(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+th2=0.∵ h≠ 0,∴ a=t. (3)∵ 點 A(h,k)在拋物線 y=x2x上 , ∴ k=h2h. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+h2h. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+h2h(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+h2h=0. ∵ h≠ 0,∴ a=? 1. 分兩類討論 : ① 當(dāng) 2≤ h0時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? ≤ ? , ∴ a≤ ? 。 ② 當(dāng) 0h1時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? 1,∴ a0. 綜上所述 ,a的取值范圍是 a≤ ? 或 a0. 1h1h 12321h32評析 本題考查二次函數(shù)等知識 ,解題的關(guān)鍵是會用參數(shù)解決問題 ,題目比較難 ,參數(shù)比較多 , 第 (3)問要注意分類討論 ,屬于中考壓軸題 . 9.(2022南平 ,24,12分 )已知拋物線 y=ax2(a≠ 0)經(jīng)過點 A(4,4). (1)求拋物線的解析式 。 (2)如圖 1,拋物線上存在點 B,使得△ AOB是以 AO為直角邊的直角三角形 ,請直接寫出所有符合 條件的點 B的坐標(biāo) : 。 (3)如圖 2,直線 l經(jīng)過點 C(0,1),且平行于 x軸 ,若點 D為拋物線上任意一點 (原點 O除外 ),直線 DO 交 l于點 E,過點 E作 EF⊥ l,交拋物線于點 F,求證 :直線 DF一定經(jīng)過點 G(0,1). ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=ax2(a≠ 0)經(jīng)過點 A(4,4), ∴ 16a=4,∴ a=? , ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2. (2)∵ △ AOB是以 AO為直角邊的直角三角形 ,∴ 直角頂點是點 O或點 A, ① 當(dāng)直角頂點是點 O時 ,過點 O