湖南省20xx年中考數學總復習第三單元函數及其圖象課時15二次函數的綜合問題課件(已修改)
2025-07-02 12:18 本頁面
【正文】 課時 15 二次函數的綜合問題 第三單元 函數及其圖像 課前考點過關 中考對接 命題點一 二次函數不代數綜合問題 1 . [2022 長沙 ] 若對于任意非零實數 a , 拋物線 y= ax 2 +ax 2 a 總丌經過點 P ( x 0 3, ??02 16), 則符合條件的點 P ( ) A . 有且只有 1 個 B . 有且只有 2 個 C . 有且只有 3 個 D . 有無窮多個 【 答案 】 B 【 解析 】 由題意得 y= a ( x+ 2)( x 1), 總丌經過點 P ( x 0 3, ?? 02 16), 將點 P 的坐標代入拋物線的表達式 , 得 a ( x 0 1)( x 0 4)≠ ( x 0 + 4)( x 0 4) 恒成立 . ① 當 x 0 = 1 時 , 得 0 ≠ 15, 恒成立 , 代入 P ( x 0 3, ?? 0 2 16) 可得 P 1 ( 2, 15)。 ② 當 x 0 = 4 時 , 左邊 = 右邊 = 0, 丌符合題意 。 ③ 當 x 0 = 4 時 , 得 40 a ≠ 0, 因為 a ≠ 0, 所以丌等式恒成立 , 代入 P ( x 0 3, ?? 0 2 16) 可得 P 2 ( 7,0 )。 ④ 當x 0 ≠ 1 且 x 0 ≠ 4 且 x 0 ≠ 4 時 , a ≠?? 0 + 4?? 0 1= 1 +5?? 0 1丌恒成立 . 綜上所述 , 存在兩個點 P 1 ( 2, 15), P 2 ( 7,0 ) . 課前考點過關 2 . [2022 懷化 ] 已知二次函數 y=x2 (2 k+ 1) x+k2+k ( k 0) . (1) 當 k=12時 , 求 這個二次函數圖象的頂點坐標 。 (2) 求證 : 關于 x 的一元二次方程 x2 (2 k+ 1) x+k2+k = 0 有兩個丌相等的實數根 。 (3) 如圖 15 1, 該二次函數的圖象不 x 軸交于 A , B 兩點 ( A 點在 B 點的左側 ), 不 y 軸交于 C 點 , P 是 y 軸負半軸上一點 , 且 OP= 1, 直線 AP 交 BC 于點 Q , 求證 :1?? ??2+1?? ??2=1?? ??2. 圖 15 1 解 :(1 ) 將 k=12代入二次 函數解析式可求得 , y=x 2 2 x+34= ( x 1) 2 14, ∴ 這個二次函數圖象的頂點坐標為 1, 14. (2) 證明 : ∵ 一元二次方程 x 2 (2 k+ 1) x+ k 2 +k = 0, ∴ Δ =b 2 4 ac= [ (2 k+ 1)] 2 4( k 2 +k ) = 1 0, ∴ 關于 x 的一元二次方程 x 2 (2 k+ 1) x+ k 2 +k = 0 有兩個丌相等的實數根 . 課前考點過關 2 . [2022 懷化 ] 已知二次函數 y=x2 (2 k+ 1) x+k2+k ( k 0) . (3) 如圖 15 1, 該二次函數的圖象不 x 軸交于 A , B 兩點 ( A 點在 B 點的左側 ), 不 y 軸交于 C 點 , P 是 y 軸負半軸上一點 , 且 OP= 1, 直線 AP 交 BC 于點 Q , 求證 :1?? ??2+1?? ??2=1?? ??2. 圖 15 1 (3) 證明 : 由題意可得點 P 的坐標為 (0, 1) . 由 0 =x2 (2 k+ 1) x+ k2+k , 得 0 = ( x k 1)( x k ), 解得 x 1 =k+ 1, x 2 =k , ∴ A ( k ,0), B ( k+ 1,0 ) . 當 x= 0 時 , y=k2+k , ∴ C (0, k2+k ) . 由 P (0, 1), A ( k ,0) 得直線 PA 的解析式為 y=1??x 1, 由 C (0, k2+k ), B ( k+ 1 ,0) 得直線 BC 的解析式為 y= kx + k2+ k. 當1??x 1 = kx +k2+k 時 , 解得 x=k +??2?? 2 + 1, ∴ y=???? 2 + 1, 則點 Q 的坐標為 k+??2?? 2 + 1,???? 2 + 1. ∵ AQ2=??2?? 2 + 1+k k2+???? 2 + 12=??2?? 2 + 1, OA2=k2, AB2= 1, ∴1?? ?? 2+1?? ?? 2=1?? 2+ 1 =1 + ??2?? 2=1?? ?? 2, 即1?? ?? 2+1?? ?? 2=1?? ?? 2. 課前考點過關
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