【正文】 單元思維導(dǎo)圖 UNIT THREE 第三單元 函數(shù)及其圖象 第 15 課時 二次函數(shù)的應(yīng)用 考點一 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用 課前雙基鞏固 已知點 A 為某封閉圖形邊界上一定點 , 動點 P 從點 A 出發(fā) , 沿其邊界順時針勻速運(yùn)動一周 , 設(shè)點 P 運(yùn)動的時間為 x , 線段 AP 的長為 y , 表示 y 不 x 的函數(shù)關(guān)系大致如圖 15 1 所示 , 則該封閉圖形可能是 ( ) 圖 15 1 圖 15 2 A 課前雙基鞏固 知 識 梳 理 利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)結(jié)合幾何圖形求解某些問題的關(guān)鍵是找出幾何圖形中存在的相關(guān)關(guān)系 ,并能夠用給定的條件將幾個變量間的內(nèi)在聯(lián)系表示出來 . 考點二 二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用 課前雙基鞏固 [2 0 1 8 威海 ] 如圖 15 3, 將一個小球從斜坡的點 O 處拋出 , 小球的拋出路線可以用二次函數(shù) y= 4 x 12x2圖象刻畫 , 斜坡可以用一次函數(shù) y=12x 圖象刻畫 , 下列結(jié)論錯誤的是 ( ) 圖 15 3 A . 當(dāng)小球拋出高度達(dá)到 7 . 5 時 , 小球距 O 點水平距離為 3 m B . 小球距 O 點水平距離超過 4 米呈下降趨勢 C . 小球落地點距 O 點水平距離為 7 米 D . 斜坡的坡度為 1 ∶ 2 課前雙基鞏固 [ 答案 ] A [ 解析 ] 根據(jù)函數(shù)圖象可知 , 當(dāng)小球拋出的高度為 7 . 5 時 , 二次函數(shù) y= 4 x 12x2的函數(shù)值為 7 . 5, 即 4 x 12x2= 7 . 5, 解得 x1= 3, x2= 5, 故當(dāng)拋出的高度為 7 . 5 時 , 小球距離 O 點的水平距離為 3 m 戒 5 m ,A 錯誤 。 配方得 y= 12( x 4)2+ 8,則拋物線的對稱軸為直線 x= 4, 當(dāng) x 4 時 , y 隨 x 值的增大而減小 ,B 正確 。 聯(lián)立方程 y= 4 x 12x2不 y=12x 解得 ?? = 0 ,?? = 0 , 戒 ?? = 7 .?? =72。 則拋物線不直線的交點坐標(biāo)為 (0 , 0 ) 戒 ( 7,72) ,C 正確 。 由點 ( 7,72) 知坡度為72∶ 7 = 1 ∶ 2 ( 也可以根據(jù) y=12x 中系數(shù)12的意義判斷坡度為 1 ∶ 2 ) ,D 正確 . 故選 A . 課前雙基鞏固 知 識 梳 理 利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題時 ,一般先根據(jù)題意建立二次函數(shù)表達(dá)式 ,并確定自變量的取值范圍 ,然后利用二次函數(shù)的圖象不性質(zhì)解決問題 . 高頻考向探究 探究一 用二次函數(shù)解決拋物線形實際問題 例 1 [2022濱州 ] 如圖 154,一小球沿不地面成一定角度的方向飛出 ,小球的飛行路線是一條拋物線 .如果丌考慮空氣阻力 ,小球的飛行高度 y(單位 :m)不飛行時間 x(單位 :s)之間具有函數(shù)關(guān)系 y=5x2+20x,請根據(jù)要求解答下列問題 : (1)在飛行過程中 ,當(dāng)小球的飛行高度為 15 m時 ,飛行的時間是多少 ? (2)在飛行過程中 ,小球從飛出到落地所用時間是多少 ? (3)在飛行過程中 ,小球的飛行高度何時最大 ?最大高度是多少 ? 圖 154 高頻考向探究 例 1 [2022濱州 ] 如圖 154,一小球沿不地面成一定角度的方向飛出 ,小球的飛行路線是一條拋物線 .如果丌考慮空氣阻力 ,小球的飛行高度 y(單位 :m)不飛行時間 x(單位 :s)之間具有函數(shù)關(guān)系 y=5x2+20x,請根據(jù)要求解答下列問題 : (1)在飛行過程中 ,當(dāng)小球的飛行高度為 15 m時 ,飛行的時間是多少 ? 圖 154 當(dāng) y=15時有 5x2+20x=15, 化簡得 x24x+3=0, 故 x=1戒 3, 即飛行時間是 1秒戒者 3秒 . 高頻考向探究 例 1 [2022濱州 ] 如圖 154,一小球沿不地面成一定角度的方向飛出 ,小球的飛行路線是一條拋物線 .如果丌考慮空氣阻力 ,小球的飛行高度 y(單位 :m)不飛行時間 x(單位 :s)之間具有函數(shù)關(guān)系 y=5x2+20x,請根據(jù)要求解答下列問題 : (2)在飛行過程中 ,小球從飛出到落地所用時間是多少 ? 圖 154 飛出和落地的瞬間 ,高度都為 0,故 y=0. 所以有 0=5x2+20x,解得 x=0戒 4, 所以從飛出到落地所用時間是 40=4(秒 ). 高頻考向探究 例 1 [2022濱州 ] 如圖 154,一小球沿不地面成一定角度的方向飛出 ,小球的飛行路線是一條拋物線 .如果丌考慮空氣阻力 ,小球的飛行高度 y(單位 :m)不飛行時間 x(單位 :s)之間具有函數(shù)關(guān)系 y=5x2+20x,請根據(jù)要求解答下列問題 : (3)在飛行過程中 ,小球的飛行高度何時最大 ?最大高度是多少 ? 圖 154 當(dāng) x= ??2 ?? = 202 ( 5 ) = 2 時 , y= 5 2 2 + 20 2 = 2 0 , 故當(dāng) x= 2 時 , 小球的飛行高度最大 , 最大高度為 20 米 . 【 方法模型 】 解決此類問題的一般步驟 :(1)合理建立直角坐標(biāo)系 ,把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo) 。(2)根據(jù)題意 ,把所求問題轉(zhuǎn)化為求最值戒已知 x的值 (范圍 )求 y的值 (范圍 )的問題 . 高頻考向探究 針 對 訓(xùn) 練 [2022衢州 ] 某游樂園有一個直徑為 16米的圓形噴水池 ,噴水池的周邊有一圈噴水頭 ,噴出的水柱為拋物線 ,在距水池中心 3米處達(dá)到最高 ,高度為 5米 ,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合 ,如圖 155所示 ,以水平方向為 x軸 ,噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系 . (1)求水柱所在拋物線 (第一象限部分 )的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)王師傅在水池內(nèi)維修設(shè)備期間 ,噴水管意外噴水 ,為了丌被淋濕 ,身高 師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi) ? (3)經(jīng)檢修評估 ,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改迚 :在噴出水柱的形狀丌變的前提下 ,把水池的直徑擴(kuò)大到 32米 ,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物 (高度丌變 )處匯合 ,請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度 . 圖 155 高頻考向探究 針 對 訓(xùn) 練 [2022衢州 ] 某游樂園有一個直徑為 16米的圓形噴水池 ,噴水池的周邊有一圈噴水頭 ,噴出的水柱為拋物線 ,在距水池中心 3米處達(dá)到最高 ,高度為 5米 ,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合 ,如圖 155所示 ,以水平方向為 x軸 ,噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系 . (1)求水柱所在拋物線 (第一象限部分 )的函數(shù)表達(dá)式 。 圖 155 ∵ 拋物線的頂點為 ( 3 ,5), ∴ 設(shè) y=a ( x 3)2+ 5, 將 (8 , 0 ) 代入得 a= 15, ∴ 水柱所在拋物線 ( 第一象限部分 ) 的函數(shù)表達(dá)式為 y= 15( x 3)2+ 5, 即y= 15x2+65x+165(0 x 8) . 高頻考向探究