【正文】 裝 訂 線 第九屆西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽暨 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽選拔賽題目 A (B)題 密封號 2020 年 5 月 3 日 剪 切 線 密封號 2020 年 5 月 3 日 學(xué)院 第 隊 隊員 1 隊員 2 隊員 3 姓名 班級 裝 訂 線 摘 要 近幾年，房價過快上漲，使人民群眾買房難，因此研究影響房價的主要因素以及房價與其之間的關(guān)系十分重要。 分析題目，我們分為三個問題進(jìn)行討論建模：問題一， 房價合理性評判；問題二，未來房價走勢；問題三，后期房價的應(yīng)對。本文針對影響房價的因素，主要考慮以下幾點：地價，人均年收入，建材價格，人均 GDP、房屋貸款利率 和居民消費水平。通過線性擬合，找出各影響因素與房價的關(guān)系，確定出主要影響因素為：地價，人均年收入，人均 GDP 和居民消費水平 ，進(jìn)而得出因素與房價之間的互動影響 。問題 一 中針對 各代表性城市 現(xiàn)今房價是否合理的問題，我們 以代表性城市上海、西安為例， 采用了 經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)于正態(tài)分布 的模型， 評定房價的合理性 ，同時根據(jù)我們確定出來的 數(shù)據(jù)與 世界銀行房價 評判標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行進(jìn)一步評判。 針對問題 二 ， 鑒于房價所涉及的系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)，而影響房價的因素很多，我們利用灰色預(yù)測法來作預(yù)測，灰色系統(tǒng)，即將雜亂無章的數(shù)據(jù)列進(jìn)行整理、生成，將空缺的數(shù)據(jù)通過計算加以補充，用整理過的數(shù)據(jù)列建立模型并通過它進(jìn)行決策和預(yù)測，將結(jié)構(gòu)、關(guān)系、機(jī)制不清楚的對象、過程、系統(tǒng)作灰色預(yù)測以進(jìn)行提前控制。 房價變化涉及的 系統(tǒng)包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。 針對問題三， 建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯Ω饕蛩嘏c房價的相關(guān)性進(jìn)行檢驗；至于 對經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，須考慮房價與各個因素之間的互動性，便于充分利用搜集的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的檢驗。 利用影響因素 ，通過對 模型的綜合分析 ，我們提出了各種改進(jìn)措施 并得出了對經(jīng)濟(jì)影響的一些結(jié)論 。本文的主要特色為：我們 分析了房價變化這一系統(tǒng)的特點，有針對性的構(gòu)建模型，并 抓住了影響房價的主要因素，建立的模型 精確 實用，而且容易理解。同時我們根據(jù)模型對未來 代表性城市 的 房價 進(jìn)行了預(yù)測與評估 ，并提出了合理實用的改進(jìn) 措施，不僅具有研究參考價值，而且對于決策者有很好的指導(dǎo)意義 。 一．問題重述 房價問題事關(guān)國計民生，對國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和 社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關(guān)注的問題。我國自從取消福利分房制度以來，隨著房價的不斷飆升，房價問題已經(jīng)成為全民關(guān)注的焦點議題之一，從國家領(lǐng)導(dǎo)人、地方政府官員，到開發(fā)商、專家學(xué)者、普通百姓通過各種媒體表達(dá)各種觀點，但對于房價是否合理、未來房價的走勢等關(guān)鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識。要求就一下方面進(jìn)行分析： 根據(jù)中國國情，收集建筑成本、居民收入等與房價密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，選取我國具有代表性的幾類城市對房價的合理性及房價的未來走勢等問題進(jìn)行定量分析；根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能 對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進(jìn)行定量分析。 根據(jù)賽題的要求，我們將題目分割為三部分并分別建模。模型一為房價合理性分析模型，模型二為房價未來走勢預(yù)測模型，模型三為 后期 房價 應(yīng)對模型 。 二、問題分析 題目要求依據(jù)建筑成本、居民收入等影響房價變化的因素，對具有代表性城市的房價進(jìn)行合理性定量評估并定量預(yù)測房價未來走勢、控制合理房價的措施和對經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。我們將問題進(jìn)行分述如下三個部分，并對其分別建模： 一、 房價合理性分析模型 考慮評判房價的合理性，我們首先想到與房價密切相關(guān)的各種因素， 認(rèn)為房屋的合理定價應(yīng)該由房屋所在 城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度、環(huán)境優(yōu)美度、居民歸屬感等生活標(biāo)準(zhǔn)來反應(yīng)，而這些項目又有很多是難以量化的指標(biāo)，因此我們采用了城市居民年人均收入刻畫生活標(biāo)準(zhǔn)。房屋的價格應(yīng)該滿足本市居民的居住需要，于是這部分我們沒有引入投資等市場因素。 二、 房價未來走勢模型 房價未來走勢受很多因素影響，比如 地價、居民平均收入水平、理想房價和市場供求關(guān)系等。但是這些因素之間相互作用、相互影響， 這些屬于系統(tǒng)分析的內(nèi)容， 起初我們考慮將運用 數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析、方差分析、主成分分析等 方法 來進(jìn)行 房價 系統(tǒng)分析。 但是由于這些方法必須要有大量的數(shù)據(jù)，而 且要求我們所選取的主要因素即地價、居民平均收入水平、理想房價和市場供求關(guān)系等與房價系統(tǒng)之間呈現(xiàn)一定的線性關(guān)系且各個因素?zé)o相關(guān)性，顯然，我們所能獲得是數(shù)據(jù)不具備上述特征，因此，我們必須設(shè)想利用其它模型。 鑒于房價所涉及的系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)，而影響房價的因素很多，我們利用灰色預(yù)測法來作預(yù)測，灰色系統(tǒng)，即將雜亂無章的數(shù)據(jù)列進(jìn)行整理、生成，將空缺的數(shù)據(jù)通過計算加以補充，用整理過的數(shù)據(jù)列建立模型并通過它進(jìn)行決策和預(yù)測，將結(jié)構(gòu)、關(guān)系、機(jī)制不清楚的對象、過程、系統(tǒng)作灰色預(yù)測以進(jìn)行提前控制。 正如前面所說，房價變化 涉及 的 系統(tǒng)包含 有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。 因此這部分我們采用了灰色預(yù)測模型，避免了考慮單個量對經(jīng)濟(jì)走勢的影響情況，關(guān)注在這些因素共同作用下的經(jīng)濟(jì)走勢，并對房價的未來變化進(jìn)行了預(yù)測。 三、 后期房價應(yīng)對模型 要求我們 根據(jù) 前面的 分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響 。提出控制房價使之合理的措施，涉及到影響房價的具體因素。所以，我們必須建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯Ω饕蛩嘏c房價的相關(guān)性進(jìn)行檢驗；至于對經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，須考慮房價與各個因素之間的互動性，便于充分利用搜集的 相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的檢驗。 三、數(shù)學(xué)模型 的建立 及求解 31 城市房價合理性模型與符號說明 模型假設(shè) ： 本模型主要考慮到應(yīng)屆畢業(yè)生等初次購房者的購買情況，不考慮投資購房群體，理由是投資者生活有所保證，投機(jī)行為可以由市場進(jìn)行調(diào)節(jié)，合理性應(yīng)該反映房屋真正需求者購房難度。 本模型假定城市居民收入與收入對應(yīng)的人口數(shù)成正態(tài)分布。 符號說明 ： esM : 單位面積商品房售價 Sqr : 當(dāng)?shù)?人均住房居住面積 eT : 預(yù)期使用當(dāng)年全年收入歸還房貸所需年數(shù) rM : 購買商品房支付的總價 ? : 房產(chǎn)稅率、貸款利息等附加費用 eS : 當(dāng)?shù)?人均年收入 (1 )r e sM M S q r?? ? ? ? 模型建立 若以當(dāng)?shù)厝司晔杖?eS 作為人口收入正態(tài)分布模型的 x=0，人均年收入的2n 倍定為 x=n ，則 x~N(0,1) ，函數(shù)圖象如圖 31(a) 所示。 圖 31(a) 令 Te 年內(nèi)可用全年工資購買人均住房面積住房的下限倍率為 Br。 22( 1 )l og ( ) l og [ ]esrre e e eM SqrMBS T S T?? ? ????? 根據(jù)假設(shè)一，本模型考慮對象為應(yīng)屆畢業(yè)生等初次購房者，國家對于這些群體的稅費及銀行貸款的政策都有相應(yīng)的優(yōu)惠，故這些因素暫予以忽略，對 Br 進(jìn)行了 簡化： 2l og ( )esreeM SqrBTS??? P= 1 ( )rB?? 一． 以上海市區(qū)居民購房為例（數(shù)據(jù)見表 311） 表 311 令能夠使用 Te 年全年收入購買人均住房面積住房的人口比例為 P，假設(shè) 5年為合理還貸期，通過查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到的年份、 Br 值及 P 值如表 31(a)所示。 年份 住房面 積（ 2m ） 商品房 銷售 均價 (元每平方米 ) 人均年收入 (元 ) 2020 5539 13250 2020 6032 14867 2020 6640