【正文】 裝 訂 線 第九屆西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔賽題目 A (B)題 密封號(hào) 2020 年 5 月 3 日 剪 切 線 密封號(hào) 2020 年 5 月 3 日 學(xué)院 第 隊(duì) 隊(duì)員 1 隊(duì)員 2 隊(duì)員 3 姓名 班級(jí) 裝 訂 線 摘 要 近幾年，房?jī)r(jià)過(guò)快上漲，使人民群眾買房難，因此研究影響房?jī)r(jià)的主要因素以及房?jī)r(jià)與其之間的關(guān)系十分重要。 分析題目，我們分為三個(gè)問題進(jìn)行討論建模：?jiǎn)栴}一， 房?jī)r(jià)合理性評(píng)判；問題二，未來(lái)房?jī)r(jià)走勢(shì)；問題三，后期房?jī)r(jià)的應(yīng)對(duì)。本文針對(duì)影響房?jī)r(jià)的因素，主要考慮以下幾點(diǎn)：地價(jià)，人均年收入，建材價(jià)格，人均 GDP、房屋貸款利率 和居民消費(fèi)水平。通過(guò)線性擬合，找出各影響因素與房?jī)r(jià)的關(guān)系，確定出主要影響因素為：地價(jià)，人均年收入，人均 GDP 和居民消費(fèi)水平 ，進(jìn)而得出因素與房?jī)r(jià)之間的互動(dòng)影響 。問題 一 中針對(duì) 各代表性城市 現(xiàn)今房?jī)r(jià)是否合理的問題，我們 以代表性城市上海、西安為例， 采用了 經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)于正態(tài)分布 的模型， 評(píng)定房?jī)r(jià)的合理性 ，同時(shí)根據(jù)我們確定出來(lái)的 數(shù)據(jù)與 世界銀行房?jī)r(jià) 評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行進(jìn)一步評(píng)判。 針對(duì)問題 二 ， 鑒于房?jī)r(jià)所涉及的系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)，而影響房?jī)r(jià)的因素很多，我們利用灰色預(yù)測(cè)法來(lái)作預(yù)測(cè)，灰色系統(tǒng)，即將雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)列進(jìn)行整理、生成，將空缺的數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算加以補(bǔ)充，用整理過(guò)的數(shù)據(jù)列建立模型并通過(guò)它進(jìn)行決策和預(yù)測(cè)，將結(jié)構(gòu)、關(guān)系、機(jī)制不清楚的對(duì)象、過(guò)程、系統(tǒng)作灰色預(yù)測(cè)以進(jìn)行提前控制。 房?jī)r(jià)變化涉及的 系統(tǒng)包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。 針對(duì)問題三， 建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)各因素與房?jī)r(jià)的相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)；至于 對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，須考慮房?jī)r(jià)與各個(gè)因素之間的互動(dòng)性，便于充分利用搜集的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的檢驗(yàn)。 利用影響因素 ，通過(guò)對(duì) 模型的綜合分析 ，我們提出了各種改進(jìn)措施 并得出了對(duì)經(jīng)濟(jì)影響的一些結(jié)論 。本文的主要特色為：我們 分析了房?jī)r(jià)變化這一系統(tǒng)的特點(diǎn)，有針對(duì)性的構(gòu)建模型，并 抓住了影響房?jī)r(jià)的主要因素，建立的模型 精確 實(shí)用，而且容易理解。同時(shí)我們根據(jù)模型對(duì)未來(lái) 代表性城市 的 房?jī)r(jià) 進(jìn)行了預(yù)測(cè)與評(píng)估 ，并提出了合理實(shí)用的改進(jìn) 措施，不僅具有研究參考價(jià)值，而且對(duì)于決策者有很好的指導(dǎo)意義 。 一．問題重述 房?jī)r(jià)問題事關(guān)國(guó)計(jì)民生，對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和 社會(huì)穩(wěn)定有重大影響，一直是各國(guó)政府大力關(guān)注的問題。我國(guó)自從取消福利分房制度以來(lái)，隨著房?jī)r(jià)的不斷飆升，房?jī)r(jià)問題已經(jīng)成為全民關(guān)注的焦點(diǎn)議題之一，從國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人、地方政府官員，到開發(fā)商、專家學(xué)者、普通百姓通過(guò)各種媒體表達(dá)各種觀點(diǎn)，但對(duì)于房?jī)r(jià)是否合理、未來(lái)房?jī)r(jià)的走勢(shì)等關(guān)鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。要求就一下方面進(jìn)行分析： 根據(jù)中國(guó)國(guó)情，收集建筑成本、居民收入等與房?jī)r(jià)密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，選取我國(guó)具有代表性的幾類城市對(duì)房?jī)r(jià)的合理性及房?jī)r(jià)的未來(lái)走勢(shì)等問題進(jìn)行定量分析；根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房?jī)r(jià)合理的具體措施，以及可能 對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進(jìn)行定量分析。 根據(jù)賽題的要求，我們將題目分割為三部分并分別建模。模型一為房?jī)r(jià)合理性分析模型，模型二為房?jī)r(jià)未來(lái)走勢(shì)預(yù)測(cè)模型，模型三為 后期 房?jī)r(jià) 應(yīng)對(duì)模型 。 二、問題分析 題目要求依據(jù)建筑成本、居民收入等影響房?jī)r(jià)變化的因素，對(duì)具有代表性城市的房?jī)r(jià)進(jìn)行合理性定量評(píng)估并定量預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)未來(lái)走勢(shì)、控制合理房?jī)r(jià)的措施和對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。我們將問題進(jìn)行分述如下三個(gè)部分，并對(duì)其分別建模： 一、 房?jī)r(jià)合理性分析模型 考慮評(píng)判房?jī)r(jià)的合理性，我們首先想到與房?jī)r(jià)密切相關(guān)的各種因素， 認(rèn)為房屋的合理定價(jià)應(yīng)該由房屋所在 城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度、環(huán)境優(yōu)美度、居民歸屬感等生活標(biāo)準(zhǔn)來(lái)反應(yīng)，而這些項(xiàng)目又有很多是難以量化的指標(biāo)，因此我們采用了城市居民年人均收入刻畫生活標(biāo)準(zhǔn)。房屋的價(jià)格應(yīng)該滿足本市居民的居住需要，于是這部分我們沒有引入投資等市場(chǎng)因素。 二、 房?jī)r(jià)未來(lái)走勢(shì)模型 房?jī)r(jià)未來(lái)走勢(shì)受很多因素影響，比如 地價(jià)、居民平均收入水平、理想房?jī)r(jià)和市場(chǎng)供求關(guān)系等。但是這些因素之間相互作用、相互影響， 這些屬于系統(tǒng)分析的內(nèi)容， 起初我們考慮將運(yùn)用 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析、方差分析、主成分分析等 方法 來(lái)進(jìn)行 房?jī)r(jià) 系統(tǒng)分析。 但是由于這些方法必須要有大量的數(shù)據(jù)，而 且要求我們所選取的主要因素即地價(jià)、居民平均收入水平、理想房?jī)r(jià)和市場(chǎng)供求關(guān)系等與房?jī)r(jià)系統(tǒng)之間呈現(xiàn)一定的線性關(guān)系且各個(gè)因素?zé)o相關(guān)性，顯然，我們所能獲得是數(shù)據(jù)不具備上述特征，因此，我們必須設(shè)想利用其它模型。 鑒于房?jī)r(jià)所涉及的系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)，而影響房?jī)r(jià)的因素很多，我們利用灰色預(yù)測(cè)法來(lái)作預(yù)測(cè)，灰色系統(tǒng)，即將雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)列進(jìn)行整理、生成，將空缺的數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算加以補(bǔ)充，用整理過(guò)的數(shù)據(jù)列建立模型并通過(guò)它進(jìn)行決策和預(yù)測(cè)，將結(jié)構(gòu)、關(guān)系、機(jī)制不清楚的對(duì)象、過(guò)程、系統(tǒng)作灰色預(yù)測(cè)以進(jìn)行提前控制。 正如前面所說(shuō)，房?jī)r(jià)變化 涉及 的 系統(tǒng)包含 有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。 因此這部分我們采用了灰色預(yù)測(cè)模型，避免了考慮單個(gè)量對(duì)經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的影響情況，關(guān)注在這些因素共同作用下的經(jīng)濟(jì)走勢(shì)，并對(duì)房?jī)r(jià)的未來(lái)變化進(jìn)行了預(yù)測(cè)。 三、 后期房?jī)r(jià)應(yīng)對(duì)模型 要求我們 根據(jù) 前面的 分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房?jī)r(jià)合理的具體措施，以及可能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響 。提出控制房?jī)r(jià)使之合理的措施，涉及到影響房?jī)r(jià)的具體因素。所以，我們必須建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)各因素與房?jī)r(jià)的相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)；至于對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，須考慮房?jī)r(jià)與各個(gè)因素之間的互動(dòng)性，便于充分利用搜集的 相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的檢驗(yàn)。 三、數(shù)學(xué)模型 的建立 及求解 31 城市房?jī)r(jià)合理性模型與符號(hào)說(shuō)明 模型假設(shè) ： 本模型主要考慮到應(yīng)屆畢業(yè)生等初次購(gòu)房者的購(gòu)買情況，不考慮投資購(gòu)房群體，理由是投資者生活有所保證，投機(jī)行為可以由市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，合理性應(yīng)該反映房屋真正需求者購(gòu)房難度。 本模型假定城市居民收入與收入對(duì)應(yīng)的人口數(shù)成正態(tài)分布。 符號(hào)說(shuō)明 ： esM : 單位面積商品房售價(jià) Sqr : 當(dāng)?shù)?人均住房居住面積 eT : 預(yù)期使用當(dāng)年全年收入歸還房貸所需年數(shù) rM : 購(gòu)買商品房支付的總價(jià) ? : 房產(chǎn)稅率、貸款利息等附加費(fèi)用 eS : 當(dāng)?shù)?人均年收入 (1 )r e sM M S q r?? ? ? ? 模型建立 若以當(dāng)?shù)厝司晔杖?eS 作為人口收入正態(tài)分布模型的 x=0，人均年收入的2n 倍定為 x=n ，則 x~N(0,1) ，函數(shù)圖象如圖 31(a) 所示。 圖 31(a) 令 Te 年內(nèi)可用全年工資購(gòu)買人均住房面積住房的下限倍率為 Br。 22( 1 )l og ( ) l og [ ]esrre e e eM SqrMBS T S T?? ? ????? 根據(jù)假設(shè)一，本模型考慮對(duì)象為應(yīng)屆畢業(yè)生等初次購(gòu)房者，國(guó)家對(duì)于這些群體的稅費(fèi)及銀行貸款的政策都有相應(yīng)的優(yōu)惠，故這些因素暫予以忽略，對(duì) Br 進(jìn)行了 簡(jiǎn)化： 2l og ( )esreeM SqrBTS??? P= 1 ( )rB?? 一． 以上海市區(qū)居民購(gòu)房為例（數(shù)據(jù)見表 311） 表 311 令能夠使用 Te 年全年收入購(gòu)買人均住房面積住房的人口比例為 P，假設(shè) 5年為合理還貸期，通過(guò)查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到的年份、 Br 值及 P 值如表 31(a)所示。 年份 住房面 積（ 2m ） 商品房 銷售 均價(jià) (元每平方米 ) 人均年收入 (元 ) 2020 5539 13250 2020 6032 14867 2020 6640