【正文】 第三章 變量與函數(shù) 167。 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (浙江專用 ) 1.(2022杭州 ,9,3分 )四位同學(xué)在研究函數(shù) y=x2+bx+c(b,c是常數(shù) ),甲發(fā)現(xiàn)當(dāng) x=1時(shí) ,函數(shù)有最小值 。 乙發(fā)現(xiàn) 1是方程 x2+bx+c=0的一個(gè)根 。丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為 3。丁發(fā)現(xiàn)當(dāng) x=2時(shí) ,y= 同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的 ,則該同學(xué)是 ? ( ) 考點(diǎn)一 二次函數(shù)解析式 A組 20222022年浙江中考題組 五年中考 答案 B 假設(shè)甲和丙發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確 ,則 ? 解得 ? ∴ 該函數(shù)的解析式為 y=x22x+4. 若 1是方程 x2+bx+c=0的一個(gè)根 ,則 x=1是函數(shù) y=x2+bx+c的一個(gè)零點(diǎn) , 當(dāng) x=1時(shí) ,y=x22x+4=7≠ 0, ∴ 乙發(fā)現(xiàn)的結(jié)論不正確 . 當(dāng) x=2時(shí) ,y=x22x+4=4, ∴ 丁發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確 . ∵ 四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的 , ∴ 假設(shè)成立 .故選 B. 21,24 3,4bcb? ????? ?? ???2,4,bc ???? ??思路分析 假設(shè)兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確 ,用這兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論去驗(yàn)證另外兩位同學(xué)發(fā) 現(xiàn)的結(jié)論 ,只要找出一個(gè)正確 ,一個(gè)錯(cuò)誤 ,即可得出正確選項(xiàng) (本題選擇的甲和丙發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正 確 ,利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求出 b、 c的值 ,然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證乙和丁發(fā)現(xiàn)的結(jié) 論 ). 解題關(guān)鍵 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ,利用二次函數(shù)的 性質(zhì)求出 b、 c的值是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022寧波 ,10,4分 )拋物線 y=x22x+m2+2(m是常數(shù) )的頂點(diǎn)在 ? ( ) 答案 A ∵ y=x22x+m2+2, ∴ y=(x1)2+m2+1. ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,m2+1). 又 10,m2+10,∴ 頂點(diǎn)在第一象限 . 故選 A. 思路分析 根據(jù)配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo) ,從而判斷出頂點(diǎn)所在的象限 . 3.(2022紹興 ,8,4分 )矩形 ABCD的兩條對稱軸為坐標(biāo)軸 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,1).一張透明紙上畫有一 個(gè)點(diǎn)和一條拋物線 ,平移透明紙 ,使紙上的點(diǎn)與點(diǎn) A重合 ,此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2,再次 平移透明紙 ,使紙上的點(diǎn)與點(diǎn) C重合 ,則此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)?? ( ) =x2+8x+14 =x28x+14 =x2+4x+3 =x24x+3 答案 A 如圖 ,A(2,1),則可得 C(2,1). 一點(diǎn)從 A(2,1)平移到 C(2,1),需要向左平移 4個(gè)單位 ,向下平移 2個(gè)單位 , 則所求表達(dá)式為 y=(x+4)22= x2+8x+14, 故選 A. 4.(2022寧波 ,11,4分 )二次函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)的圖象在 2x3這一段位于 x軸的下方 ,在 6x7 這一段位于 x軸的上方 ,則 a的值為 ? ( ) 答案 A 因?yàn)楹瘮?shù) y=a(x4)24(a≠ 0)圖象的對稱軸是 x=4,又因?yàn)樵?2x3時(shí)函數(shù)圖象在 x軸下 方 ,所以在 5x6時(shí)函數(shù)圖象也在 x軸下方 ,又因?yàn)樵?6x7時(shí)函數(shù)圖象在 x軸上方 ,所以函數(shù)圖象 必過點(diǎn) (6,0),所以 4a4=0,即 a=1. 解題關(guān)鍵 巧妙利用二次函數(shù)圖象的對稱性是解決此題的關(guān)鍵 . 5.(2022嘉興 ,14,5分 )把拋物線 y=x2先向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 3個(gè)單位 ,平移后拋物線的表 達(dá)式是 . 答案 y=(x2)2+3 解析 y=x2? y=(x2)2? y=(x2)2+3. 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)圖象的平移 .二次函數(shù)平移的規(guī)律為“上加下減 ,左加右減” . 6.(2022嘉興、舟山 ,12,4分 )把二次函數(shù) y=x212x化為形如 y=a(xh)2+k的形式 : . 答案 y=(x6)236 解析 y=x212x=x212x+3636=(x6)236. 7.(2022湖州 ,15,4分 )如圖 ,已知拋物線 C1:y=a1x2+b1x+c1和 C2:y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點(diǎn) ,頂點(diǎn)分別 為 A,B,與 x軸的另一交點(diǎn)分別為 M,N. 如果點(diǎn) A與點(diǎn) B、點(diǎn) M與點(diǎn) N都關(guān)于原點(diǎn) O中心對稱 ,就稱 拋物線 C1和 C2為姐妹拋物線 .請你寫出一對姐妹拋物線 C1和 C2,使四邊形 ANBM恰好是矩形 .你 所寫的一對拋物線的函數(shù)表達(dá)式是 . ? 答案 y=? x2+2? x,y=? x2+2? x(答案不唯一 ) 3 3 3 3解析 連接 ,可得姐妹拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)互 為相反數(shù) ,一次項(xiàng)系數(shù)相等且不等于零 ,常數(shù)項(xiàng)都是零 ,設(shè)拋物線 C1的解析式為 y=ax2+bx, 根據(jù) 四邊形 ANBM恰好是矩形可得 OA=OM. 又 OA=MA,∴ △ AOM是等邊三角形 ,取 OM=2,則點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (1,? ),點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (2,0),可得 C1 的解析式為 y=? x2+2? x,則拋物線 C2的解析式為 y=? x2+2? x. 故答案可為 y=? x2+2? x,y=? x2+2? x. 33 3 3 33 3 3 38.(2022杭州 ,15,4分 )設(shè)拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)過 A(0,2),B(4,3),C三點(diǎn) ,其中點(diǎn) C在直線 x=2上 ,且 點(diǎn) C到拋物線的對稱軸的距離等于 1,則拋物線的函數(shù)解析式為 . 答案 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2 18 14 18 34解析 把 A(0,2),B(4,3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx+c(a≠ 0),可得 c=2,16a+4b=1,由點(diǎn) C到拋物線對 稱軸的距離等于 1,可知拋物線的對稱軸是直線 x=1或 x=3,即 ? =1或 ? =3,由 ? 得 ? 由 ? 得 ? 故所求解析式為 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2. 2ba 2ba1 6 4 1 ,12abba????? ????1 ,81 ,4ab? ????? ????1 6 4 1 ,32abba????? ????1 ,83 ,4ab? ?????? ???18 14 18 349.(2022湖州 ,19,6分 )已知拋物線 y=ax2+bx3(a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(3,0),求 a,b的值 . 解析 把點(diǎn) (1,0),(3,0)的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx3, 得 ? 解得 ? 即 a的值為 1,b的值為 2. 0 3,0 9 3 3,abab? ? ??? ? ? ?? 1,2,ab ??? ???10.(2022金華 ,23,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) O為原點(diǎn) ,平行于 x軸的直線與拋物線 L:y=ax2相 交于 A,B兩點(diǎn) (點(diǎn) B在第一象限 ),點(diǎn) D在 AB的延長線上 . (1)已知 a=1,點(diǎn) B的縱坐標(biāo)為 2. ① 如圖 1,向右平移拋物線 L使該拋物線過點(diǎn) B,與 AB的延長線交于點(diǎn) C,求 AC的長 。 ② 如圖 2,若 BD=? AB,過點(diǎn) B,D的拋物線 L2的頂點(diǎn) M在 x軸上 ,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)如圖 3,若 BD=AB,過三點(diǎn) O,B,D的拋物線 L3的頂點(diǎn)為 P,對應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a3,過點(diǎn) P作 PE∥ x軸交拋物線 L于 E,F兩點(diǎn) ,求 ? 的值 ,并直接寫出 ? 的值 . ? 123aa ABEF解析 (1)① 對于二次函數(shù) y=x2, 當(dāng) y=2時(shí) ,2=x2,解得 x1=? ,x2=? , ∴ AB=2? . ∵ 平移得到的拋物線 L1經(jīng)過點(diǎn) B,∴ BC=AB=2? , ∴ AC=4? . ② 如圖 ,記拋物線 L2的對稱軸與 AD相交于點(diǎn) N, ? 根據(jù)拋物線的軸對稱性 ,得 BN=? DB=? , ∴ OM=? . 設(shè)拋物線 L2的函數(shù)表達(dá)式為 y=a2? . 2 222212 223222322x???????由①及已知得 ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (? ,2), ∴ 2=a2? ,解得 a2=4. ∴ 拋物線 L2的函數(shù)表達(dá)式為 y=4? , 即 y=4x212? x+18. (2)如圖 ,記拋物線 L3與 x軸交于點(diǎn) G,其對稱軸與 x軸交于點(diǎn) Q,過點(diǎn) B作 BK⊥ x軸于點(diǎn) K. ? 設(shè) OK=t,則 BD=AB=2t,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (t,at2), 根據(jù)拋物線的軸對稱性 ,得 OQ=2t,OG=2OQ=4t. 則拋物線 L3的函數(shù)表達(dá)式為 y=a3x(x4t), ∵ 該拋物線過點(diǎn) B(t,at2), 22322 2???????2322x???????2∴ at2=a3t(t4t), 又 ∵ t≠ 0,∴ ? =? . ? =? . 3aa 13ABEF 3211.(2022紹興 ,21,10分 )如果拋物線 y=ax2+bx+c過定點(diǎn) M(1,1),則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線 . (1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目 :請你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式 .小敏寫出了 一個(gè)答案 :y=2x2+ 。 (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題 :已知定點(diǎn)拋物線 y=x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點(diǎn) 縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式 .請你解答 . 解析 (1)不唯一 ,如 y=x22x+2. (2)∵ 定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (b,c+b2+1),且 1+2b+c+1=1, ∴ c=12b,∴ 頂點(diǎn)縱坐標(biāo) c+b2+1=22b+b2=(b1)2+1, ∴ 當(dāng) b=1時(shí) ,c+b2+1最小 ,即拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小 ,此時(shí) c=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x. 方法點(diǎn)撥 解決新定義題目 ,一定要先審清題意 . 1.(2022湖州 ,10,3分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,已知點(diǎn) M,N的坐標(biāo)分別為 (1,2),(2,1),若拋物線 y= ax2x+2(a≠ 0)與線段 MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ,則 a的取值范圍是 ? ( ) ≤ 1或 ? ≤ a? B.? ≤ a? ≤ ? 或 a? ≤ 1或 a≥ ? 14 13 14 1314 13 14考點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 答案 A 拋物線 y=ax2x+2恒過 (0,2)點(diǎn) ,且對稱軸為直線 x=? . 易得直線 MN的解析式為 y=? x+? , 由 ? 消去 y得 3ax22x+1=0, ∵ Δ0,∴ a? . ① 當(dāng) a0時(shí) ,若拋物線與線段 MN有兩個(gè)交點(diǎn) , 則 ? ≤ ? 0, ∴ a≤ 1。 ② 當(dāng) a0時(shí) ,若拋物線與線段 MN有兩個(gè)交點(diǎn) , 則 ? 0,且當(dāng) x=2時(shí) ,y1,即 4a2+2≥ 1,即 a≥ ? . 綜上所述 ,a≤ 1或 ? ≤ a? .故選 A. 12 a13 53215,332yxy a x x? ? ? ????? ? ??1312 12 a12 a 1414 132.(2022金華 ,6,4分 )對于二次函數(shù) y=(x1)2+2的圖象與性質(zhì) ,下列說法正確的是 ? ( ) x=1,最小值是 2 x=1,最大值是 2 x=1,最小值是 2 x=1,最大值是 2 答案 B ∵ y=(x1)2+2, ∴ 拋物線開口向下 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,2),對稱軸為直線 x=1, ∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,y有最大值 2, 故選 B. 3.(2022麗水 ,8,3分 )將函數(shù) y=x2的圖象用下列方法平移后 ,所得的圖象不經(jīng)過點(diǎn) A(1,4)的方法是 ? ( ) 1個(gè)單位 3個(gè)單位 3個(gè)單位 1個(gè)單位 答案 D ,得 y=(x+1)2,圖象經(jīng)過 A點(diǎn) ,故 A不符合題意 。 ,得 y=(x3)2,圖象經(jīng)過 A點(diǎn) ,故 B不符合題意 。 ,得 y=x2+3,圖象經(jīng)過 A點(diǎn) ,故 C不符合題意 。 ,得 y=x21,圖象不經(jīng)過 A點(diǎn) ,故 D符合題意 . 故選 D. 關(guān)鍵提示 本題主要考查了函數(shù)圖象的平移 ,解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的規(guī)律 :左加右減 ,上 加下減 . 4.(2022杭州 ,9,3分 )設(shè)直線 x=1是函數(shù) y=ax2+bx+c(a,b,c是實(shí)數(shù) ,且 a0)的圖象的對稱軸 ,下列說法 正確的是 ? ( ) m1,則 (m1)a+b0 m1,則 (m1)a+b0 m1,則 (m+1)a+b0 m1,則 (