【正文】 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類(lèi)：一類(lèi)是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類(lèi)是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類(lèi)是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀(guān)，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀(guān)形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。 （90年全國(guó)文） 2. 若log2log20，則_____。(92年全國(guó)理)A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba13. 如果|x|≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全國(guó)文)A. B. － C. －1 D. 4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[7,3]上是____。(91年全國(guó))－5 －5－5 －5 5. 設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全國(guó))A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且滿(mǎn)足cos－sin＝,那么是_____。 ，也可能第三象限角 7. 已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____。（93年全國(guó)文理）A. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) 8. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為－2，則z＝_____。A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ9. 如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全國(guó)理)A. B. C. D. 10. 滿(mǎn)足方程|z＋3－ｉ|＝的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____?！竞?jiǎn)解】1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲＝乙，選A。2小題：由已知畫(huà)出對(duì)數(shù)曲線(xiàn)，選B；3小題：設(shè)sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)畫(huà)出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來(lái)，選B；6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率范圍問(wèn)題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案－＋ｉ?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀(guān)題，都可以借助幾何直觀(guān)性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線(xiàn)（⑨題）。 y 4 y=1m 1 O 2 3 xⅡ、示范性題組：例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痉治觥繉?duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決?！窘狻?原方程變形為 即：設(shè)曲線(xiàn)y＝(x－2) , x∈(0,3)和直線(xiàn)y＝1－m，圖像如圖所示。由圖可知：① 當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1。 ②當(dāng)1≤1－m4時(shí)，有唯一解，即－3m≤0,∴ m＝1或－3m≤0此題也可設(shè)曲線(xiàn)y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直線(xiàn)y＝m后畫(huà)出圖像求解。【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀(guān)解決，簡(jiǎn)單明了。此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來(lái)求（也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）。 y A D O B x C例2. 設(shè)|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值?！痉治觥?利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解?！窘狻?如圖，設(shè)z＝、z＝后，則＝、＝如圖所示。由圖可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝＝∴ ＝(177。ｉ)＝2177。ｉ y A D O x 【另解】設(shè)z＝、＝如圖所示。則||＝，且cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝177。，所以＝(177。ｉ)＝2177。ｉ，即＝2177。ｉ?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑。 一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題的求解過(guò)程是：設(shè)z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，則|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ|＝＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝177。，＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(177。ｉ)＝2177。ｉ。本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過(guò)程是：由|z－|＝得：（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，設(shè)＝z，解得z＝2177。ｉ。幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解。例3. 直線(xiàn)L的方程為：x＝－ (p0),橢圓中心D(2＋,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離？【分析】 由拋物線(xiàn)定義，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題（研究方程組解的情況）?！窘狻?由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)方程并聯(lián)立有：，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0所以△＝16－64p＋48p0,即6p－8p＋20，解得：p或p1。結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，所以4+即p，且f()0、f(4+)0即p－4＋3。結(jié)合以上，所以－4＋3p?！咀ⅰ?本題利用方程的曲線(xiàn)將曲線(xiàn)有交點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問(wèn)題。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。例4. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，討論是否，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時(shí)成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B時(shí)x＝n＝m）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問(wèn)題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線(xiàn)L：nx＋y＝3n＋15上，且直線(xiàn)與圓x＋y＝144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離≥12?！窘狻?由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 。設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線(xiàn)L：nx＋y＝3n＋15上，且直線(xiàn)與圓x＋y＝144有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)距離d＝＝3(＋)≥12∵ n為整數(shù) ∴ 上式不能取等號(hào)，故a、b不存在?！咀ⅰ?集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線(xiàn)），而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問(wèn)題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；把①式代入②式，得關(guān)于a的不等式：(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,它的判別式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3)因?yàn)閚是整數(shù)，所以n－3≠0,因而△0，又因?yàn)?＋n0,故③式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b，使得A∩B≠φ與(a