【正文】 數(shù)值分析習(xí)題集（適合課程《數(shù)值方法A》和《數(shù)值方法B》）長(zhǎng)沙理工大學(xué)第一章 緒 論1. 設(shè)x0,x的相對(duì)誤差為δ,求的誤差.2. 設(shè)x的相對(duì)誤差為2％,求的相對(duì)誤差.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:4. 利用公式()求下列各近似值的誤差限:其中均為第3題所給的數(shù).5. 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1％,問(wèn)度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少?6. 設(shè)按遞推公式 ( n=1,2,…)≈(五位有效數(shù)字),試問(wèn)計(jì)算將有多大誤差?7. 求方程的兩個(gè)根,使它至少具有四位有效數(shù)字(≈).8. 當(dāng)N充分大時(shí),怎樣求?9. 正方形的邊長(zhǎng)大約為100㎝,應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1㎝?10. 設(shè)假定g是準(zhǔn)確的,而對(duì)t的測(cè)量有177。,證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加,而相對(duì)誤差卻減小.11. 序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),若(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎?12. 計(jì)算,取,利用下列等式計(jì)算,哪一個(gè)得到的結(jié)果最好?13. ,求f(30),問(wèn)求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?若改用另一等價(jià)公式 計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算,問(wèn)結(jié)果是否可靠?15. 已知三角形面積其中c為弧度,且測(cè)量a ,b ,c 的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法 1. 根據(jù)()定義的范德蒙行列式,令 證明是n次多項(xiàng)式,它的根是,且.2. 當(dāng)x= 1 , 1 , 2 時(shí), f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式.3. 給出f(x)=ln x 的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln 的近似值.xlnx4. 給出cos x,0176?！躼 ≤90176。的函數(shù)表,步長(zhǎng)h =1′=(1/60)176。,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cos x 近似值時(shí)的總誤差界.5. 設(shè),k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,…,n),求證:i)ii)7. 設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過(guò),問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個(gè)不同實(shí)根,證明15. 證明階均差有下列性質(zhì):i) 若,則。ii) 若,則.16. ,求及.17. 證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.18. 求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.19. 試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,.20. 設(shè),把分為等分,試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時(shí),在上一致收斂到.21. 設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值,并估計(jì)誤差.22. 求在上的分段線性插值函數(shù),并估計(jì)誤差.23. 求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24. 給定數(shù)據(jù)表如下:試求三次樣條插值并滿足條件i)ii)25. 若,是三次樣條函數(shù),證明i) 。ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用()式的表達(dá)式). 第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫(huà)出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較.2. 求證:(a)當(dāng)時(shí),. (b)當(dāng)時(shí),.3. 在次數(shù)不超過(guò)6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù),求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.5. 選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問(wèn)這個(gè)解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差.7. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.8. 如何選取,使在上與零偏差最小?是否唯一?9. 設(shè),在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.10. 令,求.11. 試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.12. 在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式.13. 設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對(duì)任何,存在常數(shù)、,使14. 設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15. 在上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式,.16. 是上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管是奇數(shù)或偶數(shù),的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇(偶)函數(shù).17. 求、.18. 、,定義 問(wèn)它們是否構(gòu)成內(nèi)積?19. 用許瓦茲不等式()估計(jì)的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.20. 選擇,使下列積分取得最小值:.21. 設(shè)空間,分別在、上求出一個(gè)元素,使得其為的最佳平方逼近,并比較其結(jié)果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23. 是第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系.24. 將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi),求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫(huà)出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差.25. 把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù).26. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差.192531384427. 觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù):時(shí)間(秒)0距離(米)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.28. 在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下:時(shí)間0510152025303540455055濃度0用最小二乘擬合求.29. 編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖.30. 編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.31. 現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1. 確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:(1)。(2)。(3)。(4).2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:(1)。 (2)。(3)。 (4).3. 直接驗(yàn)證柯特斯公式()具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差.5. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1)。(2)。(3).6. 證明梯形公式()和辛普森公式()當(dāng)時(shí)收斂到積分.7. 用復(fù)化梯形公式求積分,問(wèn)要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(guò)(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過(guò).9. 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓,橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長(zhǎng)軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng).10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格