【正文】 (2)。2. 用改進(jìn)的尤拉方法解初值問題取步長h=，并與準(zhǔn)確解相比較。6. 取h=，用四階經(jīng)典的龍格－庫塔方法求解下列初值問題： 1） 2）7. 證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格－庫塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格－庫塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。3. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。5. 給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)λ，迭代過程均收斂于的根。1) 用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。2. (a) 設(shè)A是對(duì)稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對(duì)稱矩陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式。(a) 就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。12. 用高斯－約當(dāng)方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對(duì)角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對(duì)1） ；2） .18. 設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2范數(shù)及F范數(shù)。21. 設(shè)為對(duì)稱正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。證明當(dāng)時(shí)，有最小值。第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯塞德爾迭代法解此方程組的收斂性。9. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。17. 畫出SOR迭代法的框圖。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。6. (a)設(shè)A是對(duì)稱矩陣，λ和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了λ外其余元素均為零。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個(gè)特征向量。2． 。6． 。11． ，計(jì)算過程不穩(wěn)定。15．第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2. .3. 線性插值：取，則； 二次插值：取，則＝－ .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當(dāng) 時(shí)，取得最大值 .6. i) 對(duì)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有 由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時(shí)取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，為m－1次多項(xiàng)式；假設(shè) 是mk 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m(k+1)次多項(xiàng)式，得證。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。 float x[11],xc,xx。i=10。i10。 } for(i=0。 printf(f[%d]=%f\n,i+1,f(xx))。(b) ，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為，部分和誤差則為，大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。5. 原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別為，故，解方程可得出唯一解。9. 作變換代入得，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為，作逆變換代入，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為。13. ，則有，其中。同理可證，當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí)，最佳逼近多項(xiàng)式也是偶函數(shù)。19. ，其中，則，由此可知用積分中值定理估計(jì)比許瓦茲不等式估計(jì)更精確。22. 上均為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則最小，由拉格朗日乘子法可解得。26. ，解方程得，均方誤差。，計(jì)算。計(jì)算。2) ，具有3次代數(shù)精度。4. ＝，所以。8. 首先算出，然后逐次應(yīng)用3個(gè)加速公式計(jì)算結(jié)果如下表k0123所以，積分。2) ，令三點(diǎn)高斯公式五點(diǎn)高斯公式 ＝。， ， 的誤差 的誤差 的誤差 。2．近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解3．近似解準(zhǔn)確解4． ，即，又由，則有。(2) 類似(1)展開可得，同理有， 代入龍格庫塔公式可得。12． (1)，其中。14． ，初值條件等于準(zhǔn)確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于準(zhǔn)確解。 3) ，迭代公式發(fā)散。7. 1) 牛頓法迭代格式 。9. ，即。將上式兩邊取極限，及，得。12. 令，迭代公式為。2． (a)，故對(duì)稱。5． 高斯消去法第步等價(jià)于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對(duì)角元不為零，可進(jìn)行第步消元。9． 對(duì)施行初等列變換，進(jìn)行次初等列變換后，令即為所求。13． 。17． 高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。21． ，故，故是上的向量范數(shù)。25． 。29． ，則，故存在。33． 。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，GaussSeidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對(duì)稱正定，故GaussSeidel迭代法收斂。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) GaussSeidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個(gè)特征值分別為，當(dāng)時(shí)，有，因而，迭代法收斂。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。15. 取排列陣，則A為可約矩陣。|P0|ε輸出x, k。 (b) 因?yàn)闉閷?duì)稱陣，所以左右左。4．設(shè)特征向量為，則有，解得對(duì)應(yīng)的特征向量為。7．由豪斯荷爾德方法得。