【正文】 求證: 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a) (b) 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德爾迭代法的收斂性。31. 設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a) (b) 32. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù)。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。22. 設(shè)，求證。19. 求證(a) ，(b) 。(b) 計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。7. 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對(duì)角元素（2）A2是對(duì)稱正定矩陣；（3）（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對(duì)所有k8. 設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。 (b)用高斯消去法解對(duì)稱方程組：4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。13. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。8. 用二分法和牛頓法求的最小正根。6. 已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根，而當(dāng)axb時(shí)，試問如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。10. 證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。3. 用改進(jìn)的尤拉方法解取步長(zhǎng)h=，并與準(zhǔn)確解相比較。(3).6. 證明梯形公式()和辛普森公式()當(dāng)時(shí)收斂到積分.7. 用復(fù)化梯形公式求積分,問要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過.9. 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓,橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長(zhǎng)軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng).10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法。 (2)。ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用()式的表達(dá)式). 第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較.2. 求證:(a)當(dāng)時(shí),. (b)當(dāng)時(shí),.3. 在次數(shù)不超過6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù),求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.5. 選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問這個(gè)解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差.7. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.8. 如何選取,使在上與零偏差最小?是否唯一?9. 設(shè),在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.10. 令,求.11. 試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.12. 在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式.13. 設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對(duì)任何,存在常數(shù)、,使14. 設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15. 在上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式,.16. 是上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管是奇數(shù)或偶數(shù),的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇(偶)函數(shù).17. 求、.18. 、,定義 問它們是否構(gòu)成內(nèi)積?19. 用許瓦茲不等式()估計(jì)的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.20. 選擇,使下列積分取得最小值:.21. 設(shè)空間,分別在、上求出一個(gè)元素,使得其為的最佳平方逼近,并比較其結(jié)果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23. 是第二類切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系.24. 將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開,求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差.25. 把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù).26. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差.192531384427. 觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù):時(shí)間(秒)0距離(米)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.28. 在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下:時(shí)間0510152025303540455055濃度0用最小二乘擬合求.29. 編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖.30. 編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.31. 現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1. 確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:(1)?！躼 ≤90176。,證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加,而相對(duì)誤差卻減小.11. 序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),若(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎?12. 計(jì)算,取,利用下列等式計(jì)算,哪一個(gè)得到的結(jié)果最好?13. ,求f(30),問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?若改用另一等價(jià)公式 計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算,問結(jié)果是否可靠?15. 已知三角形面積其中c為弧度,且測(cè)量a ,b ,c 的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法 1. 根據(jù)()定義的范德蒙行列式,令 證明是n次多項(xiàng)式,它的根是,且.2. 當(dāng)x= 1 , 1 , 2 時(shí), f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式.3. 給出f(x)=ln x 的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln 的近似值.xlnx4. 給出cos x,0176。ii) 若,則.16. ,求及.17. 證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.18. 求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.19. 試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,.20. 設(shè),把分為等分,試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時(shí),在上一致收斂到.21. 設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值,并估計(jì)誤差.22. 求在上的分段線性插值函數(shù),并估計(jì)誤差.23. 求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24. 給定數(shù)據(jù)表如下:試求三次樣條插值并滿足條件i)ii)25. 若,是三次樣條函數(shù),證明i) 。(4).2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:(1)。