【正文】 第一篇 高 考 前 瞻 一、課標(biāo)全國(guó)卷的總體特點(diǎn)分析 1 . 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 , 文理一致 課標(biāo)全國(guó)卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分 , 第Ⅰ卷為選擇題 , 12題 , 每題 5 分 , 共 60 分 , 為必考內(nèi)容 。 第Ⅱ卷為非選擇題 , 分必考和選考兩部分 , 必考有 4 道填空題 , 每題 5 分 , 共 20 分 , 5 道解答題 ,共 60 分 , 選考是三選一 ( 選修 4 1 : 幾何證明選講 。 選修 4 4 : 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 。 選修 4 5 : 不等式選講 ), 共 10 分 . 2. 突出主干、突出方法和思想 圍繞著主干知識(shí)、重點(diǎn)方法和主要數(shù)學(xué)思想展開 , 沒有偏題怪題 . 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率依然是考查 的重點(diǎn) 。 三角函數(shù)和數(shù)列輪換在解答題中出現(xiàn) , 但總體分值保持穩(wěn)定 . 3 . 能力立意 , 突出考查邏輯思維能力 試題平實(shí)、簡(jiǎn)潔 , 突出考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 . 4 . 重視文化滲透 國(guó)務(wù)院副總理劉延?xùn)|在 2 015 年全國(guó)普通高考命題工作會(huì)議 上 , 強(qiáng)調(diào)普通高考命題必須重視且力求全面體現(xiàn)“一點(diǎn)四面” (“一點(diǎn)” : 以立德樹人為重點(diǎn) ?！八拿妗?: 社會(huì)主義核心價(jià)值、依法治國(guó)、中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和創(chuàng)新能力 ) 的考查 . 結(jié)合學(xué)科特點(diǎn) , 數(shù)學(xué)學(xué)科的命題就必須在“中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”和“創(chuàng)新能力”兩個(gè)方面回應(yīng)這一要求 . 例 1 ( 20 15 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 6 ) 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 , 書中有如下問(wèn)題 : “今有委米依垣內(nèi)角 ,下周八尺 , 高五尺 . 問(wèn) : 積及為米幾何 ? ”其意思為 : “在屋內(nèi)墻角處堆放米 ( 如圖 , 米堆為一個(gè)圓錐的四分之一 ), 米堆底部的弧長(zhǎng)為 8 尺 , 米堆的高為 5 尺 , 問(wèn) : 米堆的體積和堆放的米各為多少 ? ”已知 1 斛米的體積約為 1 . 62 立方尺 , 圓周率約為 3 , 估算出堆放的米有 ( ) . 斛 B . 2 2 斛 斛 D . 6 6 斛 【解析】設(shè)米堆的底面半徑為 r 尺 , 則π2r= 8 , 所以 r=16π, 所以米堆的體積為 V=14179。13π178。 r2178。 5 =π12179。 (16π)2179。 5 ≈3209( 立方尺 ) . 故堆放的米有3209247。 1 . 62 ≈ 22 ( 斛 ) . 故選 B . 【答案】 B 【啟示】本題以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題為材料 , 試題背景新穎 , 解答本題的關(guān)鍵是想到米堆為14個(gè)圓錐 , 底面是14個(gè)圓 , 根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程 , 求出底面半徑 , 進(jìn)而求出米堆的體積 , 并進(jìn)行單位換算 . 例 2 ( 20 15 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理 8 ) 下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)” . 執(zhí)行該程序框圖 , 若輸入的 a , b 分別為 14 , 18 , 則輸出的 a= ( ) . 【解析】 a= 14 , b= 18 . 第一次循環(huán) : 14 ≠ 18 且 14 18 , b= 18 14 = 4 。 第二次循環(huán) : 14 ≠ 4 且 14 4 , a= 14 4 = 10 。 第三次循環(huán) : 10 ≠ 4 且 10 4 , a= 10 4 = 6 。 第四次循環(huán) : 6 ≠ 4 且 6 4 , a= 6 4 = 2 。 第五次循環(huán) : 2 ≠ 4 且 2 4 , b= 4 2 = 2 。 第六次循環(huán) : a=b = 2 , 跳出循環(huán) , 輸出 a= 2 , 故選 B . 【答案】 B 5 . 邏輯題新嘗試 , 體現(xiàn)高考改革方向 例 3 ( 2 014 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 14 ) 甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò) A , B , C 三個(gè)城市時(shí) , 甲說(shuō) : 我去過(guò)的城市比乙多 , 但沒去過(guò) B 城市 。 乙說(shuō) : 我沒去過(guò) C 城市 。 丙說(shuō) : 我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市 . 由此可判斷乙去過(guò)的城市為 . 【解析】由題意可推斷 : 甲沒去過(guò) B 城市 , 但比乙去的城市多 ,而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市” , 說(shuō)明甲去過(guò) A , C 城市 , 而乙“沒去過(guò) C 城市” , 說(shuō)明乙去過(guò)城市 A , 由此可知 , 乙去過(guò)的城市為 A. 【答案】 A 【變式訓(xùn)練】 當(dāng)調(diào)查某高中的學(xué)生報(bào)考大學(xué)的狀況時(shí) , 得出如下結(jié)果 : ( 1 ) 報(bào)考 A 大學(xué)的人未報(bào)考 B 大學(xué) 。 ( 2 ) 報(bào)考 B 大學(xué)的人也報(bào)考了 D 大學(xué) 。 ( 3 ) 報(bào)考 C 大學(xué)的人未報(bào)考 D 大學(xué) 。 ( 4 ) 未報(bào)考 C 大學(xué)的人報(bào)考了 B 大學(xué) . 根據(jù)以上結(jié)果 , 給出如下命題 : ① 報(bào)考 D 大學(xué)的人也報(bào)考了 A 大學(xué) 。 ② 沒有人同時(shí)報(bào)考了 B 大學(xué)和 C 大學(xué) 。 ③ 有人同時(shí)報(bào)考了 C 大學(xué)和 D 大學(xué) 。 ④ 報(bào)考 B 大學(xué)的人數(shù)與報(bào)考 D 大學(xué)的人數(shù)相同 。 ⑤ 報(bào)考 A 大學(xué)的人也報(bào)考了 C 大學(xué) . 其中 , 正確的命題是 . 【解析】若報(bào)考 A 大學(xué)的記作 A , 未報(bào)考 A 大學(xué)的記作 A?, 且關(guān)于 B , C , D 也同樣表示 , 則 ( 1 ) A ? B?,( 2 ) B ? D ,( 3 ) C ? D?,( 4 ) C?? B , 它們的逆否命題也成立 , 即 ( 1 ) B ? A?,( 2 ) D?? B?,( 3 ) D ? C?,( 4 ) B?? C , 利用這些關(guān)系得 : ① D ? C?? B ? A?, 命題 ① 錯(cuò)誤 。 ② B ? D ? C?或 C ? D?? B?, 命題 ② 正確 。 ③ C ? D?或 D ? C?, 命題 ③ 錯(cuò)誤 。 ④ B ? D ? C?? B , 命題 ④ 正確 。 ⑤ A ? B? ? C , 命題 ⑤ 正確 , 所以正確的是 ②④⑤ . 6 . 數(shù)學(xué)的工具性和應(yīng)用性 ( 主要依托統(tǒng)計(jì)與概率試題來(lái)體現(xiàn) ) 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 19 ( 文 19 ) 涉及年宣傳費(fèi)、年銷售量和年利潤(rùn)的關(guān)系 。 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理 18 ( 文 18 ) 涉及用戶滿意度的調(diào)查分析 。 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 18 ( 文 18 ) 涉及產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分析 。 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理 5 涉及空氣質(zhì)量監(jiān)控 。 2 01 4 年課標(biāo)全國(guó)卷 Ⅱ 理 19 涉及農(nóng)村居民家庭人均純收入問(wèn)題 。 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ文 19 涉及市民對(duì)政府部門的民意調(diào)查 . 7 . 創(chuàng)新性問(wèn)題的設(shè)置 課標(biāo)全國(guó)卷基本上沒有從新觀點(diǎn)、新定義等方面進(jìn)行創(chuàng)新的試題 , 而主要從設(shè)計(jì)題目情境、問(wèn)題的思考和解決路徑等方面進(jìn)行創(chuàng)新 , 進(jìn)而綜合、靈活考查基礎(chǔ)知識(shí) . 例 4 ( 2022 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 9 ) 不等式組 ?? + ?? ≥ 1 ,?? 2 ?? ≤ 4 的解集記為 D , 有下面四個(gè)命題 : p 1 : ? ( x , y ) ∈ D , x+ 2 y ≥ 2 。 p 2 : ? ( x , y ) ∈ D , x+ 2 y ≥ 2 。 p 3 : ? ( x , y ) ∈ D , x+ 2 y ≤ 3 。 p 4 : ? ( x , y ) ∈ D , x+ 2 y ≤ 1 . 其中的真命題是 ( ) . A .p 2 , p 3 B .p 1 , p 4 C .p 1 , p 2 D .p 1 , p 3 【解析】作出不等式組表示的可行域 , 如圖 ( 陰影部分 ) . 由 ?? + ?? = 1 ,?? 2 ?? = 4 , 得交點(diǎn) A ( 2 , 1 ) . 目標(biāo)函數(shù)的斜率 k= 12 1 , 觀察直線 x+y= 1 與直線 x+ 2 y= 0 的傾斜程度 , 可知 u=x+ 2 y 過(guò)點(diǎn) A 時(shí)取得最小值 0 . 結(jié)合題意知 p 1 , p 2正確 . 【答案】 C 例 5 ( 20 15 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 12 ) 設(shè)函數(shù)f ( x ) = ex( 2 x 1 ) ax+a , 其中 a 1 , 若存在唯一的整數(shù) x 0 使得 f ( x 0 ) 0 ,則 a 的取值范圍是 ( ) . A. [ 32 e, 1 ) B. [ 32 e,34) C. [32 e,34) D. [32 e, 1 ) 【解析】 ∵ f ( 0 ) = 1 +a 0 , ∴ x 0 = 0 . 又 ∵ x 0 = 0 是唯一的整數(shù) , ∴ ?? ( 1 ) ≥ 0 ,?? ( 1 ) ≥ 0 , 即 e 1[ 2 ( 1 ) 1 ] + a + a ≥ 0 ,e ( 2 1 1 ) ?? + ?? ≥ 0 , 解得 a ≥32 e. 又 ∵ a 1 , ∴32 e≤ a 1 , 故選 D . 【答案】 D 二、主要知識(shí)塊的考查特點(diǎn)分析 ( 一 ) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題特點(diǎn)及命題思路 : 1 . 課標(biāo)全國(guó)卷壓軸的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題都是兩問(wèn) . 2 . 全國(guó)卷的設(shè)問(wèn)比較直接 . 3 . 全國(guó)卷比較穩(wěn)定地采用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸 , 常隱性交匯解不等式和證明不等式的知識(shí) . 4 . 全國(guó)卷經(jīng)常將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)設(shè)置在選擇、填空的“壓軸”位置 , 考查的往往是函數(shù)圖象及函數(shù)基本性質(zhì) . 例 6 ( 20 13 課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 16 ) 若函數(shù)f ( x ) = ( 1 x 2 )( x 2 + ax+ b ) 的圖象關(guān)于直線 x= 2 對(duì)稱 , 則 f ( x ) 的最大值為 . 【分析】由函數(shù)圖象關(guān)于直線 x= 2 對(duì)稱 , 得 f ( 4 x ) =f ( x ) 恒成立 , 進(jìn)而求出 a 、 b 的值 。 或選特殊位置列兩個(gè)方程求出 a , b 的值 , 特殊位置可以是特殊的對(duì)稱點(diǎn)、特殊的極值點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn) . 【解析】 ∵ 函數(shù) f ( x ) = ( 1 x2)( x2+ax +b ) 的圖象關(guān)于直線 x= 2對(duì)稱 , ∴ f ( x ) =f ( 4 x ) . ∴ ?? ( 1 ) = ?? ( 3 ) ,?? ( 1 ) = ?? ( 5 ) , ∴ 9 3 ?? + ?? = 0 ,25 5 ?? + ?? = 0 , 解得 ?? = 8 ,?? = 15 . ∴ 函數(shù)的解析式為 f ( x ) = ( 1 x2)( x2+ 8 x+ 15 ), 結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解得到最大值為 16 . 【答案】 16 【啟示】本題研究函數(shù)解析式是關(guān)鍵 , 同時(shí)也要充分利用函數(shù)圖象的特征進(jìn)行求解 . 例 7 ( 20 12 年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理 12 ) 設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y=12ex上 ,點(diǎn) Q 在曲線 y= ln ( 2 x ) 上 , 則 |PQ| 的最小值為 ( ) . ln 2 B . 2 ( 1 ln 2 ) C . 1 + ln 2 D . 2 ( 1 + ln 2 ) 【分析】常規(guī)思路是設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) P ( x 1 ,12e?? 1) , Q ( x 2 , ln 2 x 2 ),列出 ?? ?? =f ( x 1 , x 2 ), 再求最值 . 顯然雙動(dòng)點(diǎn)難度很大 . 注意到指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系 , 發(fā)現(xiàn) y=12ex與 y= ln ( 2 x ) 互為反函數(shù) , 圖象關(guān)于y=x 對(duì)稱 , 則 |PQ | ≥ d 1 +d 2 ≥ 2 d 0 , 其中 d 0 是點(diǎn) P 到直線 y=x 的距離 .將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“曲線 y=12ex上的點(diǎn)到直線 y=x 的距離的最小值” . 【解析】由題意得 , 函數(shù) y=12ex與函數(shù) y= ln ( 2 x ) 互為反函數(shù) ,圖象關(guān)于直線 y =x 對(duì)稱 . 又 y=12ex, 所以 y39。 =12ex, 令 y39。 = 1 , 得 x 1 = ln 2 .y= ln ( 2 x ), 所以 y39。=1??, 令 y39。= 1 , 得 x 2 = 1 , 則 ?? 1 ?? 2 = 1 ln 2 , 所以|PQ| 的最小值為 2 ( 1 ln 2 ), 故選 B . 【答案】 B 【啟示】雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題力求向單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化 , 這是基本思路 .觀察并發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)的特性 , 根據(jù)它們互為反函數(shù)的圖象特性 , 把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離 , 構(gòu)造函數(shù)求解