完美版圓錐曲線知識點總結(jié)(已修改)
2025-06-12 12:09 本頁面
【正文】 圓錐曲線的方程與性質(zhì)1．橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2．雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時，表示兩條射線；③當(dāng)時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。（2）雙曲線的性質(zhì)①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。②對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。⑤等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時交點在軸，當(dāng)時焦點在軸上。⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3．拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點梳理 方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1