證明不等式的基本方法章末復(fù)習(xí)方案課件人教a選修(已修改)
2025-06-06 22:12 本頁(yè)面
【正文】 比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號(hào)；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． [ 例 1] 若 x ， y ， z ∈ R ， a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ，求證： b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2≥ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) ． [ 證明 ] ∵b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2－ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) ＝ (bax2＋aby2－ 2 xy ) ＋ (cby2＋bcz2－ 2 yz ) ＋ (acz2＋cax2－ 2 zx )＝ ( bax －aby )2＋ ( cby － bcz )2＋ ( acz －cax )2≥ 0. ∴b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2≥ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) 成立 . 綜合法證明不等式的思維方向是 “順推 ”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件 (由因?qū)Ч?)，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時(shí)要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式 (已知或已證 )成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng) ?? 時(shí)，取等號(hào) ”的理由要理解掌握． [ 例 2] 設(shè) f ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ＋ c ，若 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， f ( 0) f ( 1 )＞ 0 ，求證： ( 1) 方程 f ( x ) ＝ 0 有實(shí)根； ( 2) － 2 ＜ba＜－ 1 ； ( 3) 設(shè) x1， x2是方程 f ( x ) ＝ 0 的兩個(gè)實(shí)根， 則33≤ | x1－ x2|＜23. [ 證明 ] ( 1) 當(dāng) a ＝ 0 ， b ＝－ c ， f ( 0) f ( 1 ) ＝ c (3 a ＋ 2 b ＋ c ) ＝－ c2≤ 0 ，與已知矛盾， 所以 a ≠ 0. 方程 3 ax2＋ 2 bx ＋ c ＝ 0 的判別式 Δ ＝ 4( b2－ 3 ac ) ， 由 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，消去 b ， 得 Δ ＝ 4( a2＋ c2－ ac ) ＝ 4 [ ( a －12c )2＋34c2] ＞ 0. 故方程 f ( x ) ＝ 0 有實(shí)根． ( 2) 由 f ( 0) f ( 1) 0 ，得 c (3 a ＋ 2 b ＋ c ) 0. 由 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，消去 c 得 ( a ＋ b )(2 a ＋
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