導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造(已修改)
2025-05-28 03:43 本頁面
【正文】 .. . . ..導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造21．（12分）已知函數(shù)（）． ?。?）若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，都有．21．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴，∵函?shù)是單調(diào)函數(shù)，∴或在上恒成立，①∵，∴，即，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則在上遞減，上遞增，∴，∴；②∵，∴，即，由①得在上遞減，上遞增，又，時(shí)，∴；綜上①②可知，或； ...............................6分（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上遞減，∵，∴，即，∴，要證，只需證，即證，令，則證，令，則，∴在上遞減，又，∴，即，得證． ...............................12分[典例] 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x＋3y＝0垂直．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：當(dāng)n＞m＞0時(shí)，ln n－ln m＞－．[解] (1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因?yàn)榍芯€與直線x＋3y＝0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．(2)證明：要證ln n－ln m＞－，即證ln＞－，只需證ln －＋＞0．令＝x，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，則g′(x)＝＋＋1．因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即證得ln －＋＞0成立，所以命題得證．1．(2017石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝a－(x＞0)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，判斷函數(shù)y＝f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)，設(shè)t＝，證明：x1＋x2隨著t的增大而增大．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－(x＞0)，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝2，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0，y＝f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，y＝f(x)單調(diào)遞增，所以x＝2是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)．(2)證明：令f(x)＝a－＝0，得x＝aex，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1
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