【正文】 1 第二章 經典單方程計量經濟學模型： 一元線性回歸模型 ? 回歸分析概述 ? 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 一元線性回歸模型檢驗 ? 一元線性回歸模型預測 ? 實例分析 2 ? 授課目標與要求： ? 經典單方程計量經濟學模型的一元線性回歸模型，是課程最基礎的內容。通過教學，要求學生達到： ? 理解經典線性單方程計量經濟學模型的數(shù)理統(tǒng)計學基礎，包括回歸分析、假設檢驗和區(qū)間估計； ? 熟練掌握經典線性單方程計量經濟學模型的理論與方法，包括基本假設、模型估計和統(tǒng)計檢驗； ? 理解最小二乘原理和最大或然原理，以及在模型估計中的應用。 ? 本章重點和難點： ? 第二節(jié)：一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 第三節(jié)：一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 3 167。 回歸分析概述 一、 回歸分析的基本概念 二、 簡單線性相關分析 三、 總體回歸函數(shù)（ PRF） 四、 隨機擾動項 五、 樣本回歸函數(shù)（ SRF） 4 一、回歸分析的基本概念 △ 變量間的關系 △ 相關分析的基本概念 △ 回歸分析的基本概念 △ 幾點注意事項 5 1. 變量間的關系 ⑴ 確定性關系或函數(shù)關系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關系。 ⑵統(tǒng)計依賴或相關關系：研究的是隨機變量間的非確定關系。 又分為簡單相關（存在于兩個變量之間的相關關系）和多重相關（存在于三個及以上變量之間的相關關系）。 ⑶模糊關系（隨機變量的似有似無） ? ? 2, 半徑半徑圓面積 ??? ??f? ?施肥量陽光降雨量氣溫農作物產量 ,f?6 相關分析的基本概念 ⑴ 相關關系， 是指兩個或兩個以上的變量，其 樣本序列觀測值 之間表現(xiàn)出來的隨機數(shù)學關系，常用相關系數(shù)來衡量，主要用來判斷變量間是否相關。如果兩個變量樣本序列觀測值之間的相關系數(shù)的絕對值為 1，則二者之間具有完全的相關關系。 ⑵ 偏相關關系， 是指一個變量與其他兩個或兩個以上變量的線性組合之間的相關關系。該變量與每一個變量間的相關系數(shù)又稱偏相關系數(shù)。 ⑶ 因果關系， 是指兩個或兩個以上的變量，在行為機制等方面上的依賴性。因果關系有單向因果關系和雙向因果關系之分。 如：價格與供給，價格與需求，投資與 GDP等。 ? 具有因果關系的變量之間一定具有數(shù)學上的相關關系；而具有相關關系的變量之間并不一定就具有因果關系。 如：GDP與一棵小樹的生長速度，中國 GDP與印度人口的關系。 ⑷ 相關分析， 是判斷變量之間是否具有相關關系的一種數(shù)學分析方法，一般是通過計算變量之間的相關系數(shù)來實現(xiàn)。 7 ○ 對變量間 統(tǒng)計依賴關系 的考察主要是通過 相關分析（ correlation） 或 回歸分析（ regression） 來完成的。 ○ 相關分析是討論變量之間相關程度的一種統(tǒng)計分析方法。在相關分析中，通常假設兩個變量：①對其是同等看待的，②不考慮其因果關系，③對自變量和因變量不加區(qū)別，④兩個變量均是 隨機變量 。 正相關 線性相關 不相關 相關系數(shù) (1≤ρ≤1) 統(tǒng)計依賴關系 負相關 有因果關系 回歸分析 正相關 無因果關系 相關分析 非線性相關 不相關 負相關 8 回歸分析的基本概念 ⑴ 回歸分析， 回歸分析也是判斷變量間是否相關的一種數(shù)學分析方法，他著重判斷一個隨機變量與一個或幾個可控變量之間是否具有依賴關系的計算方法和理論。 ? 其目的 在于通過后者的已知或設定值，去估計和（或）預測前者的（總體）均值。 ⑵因果分析， 是分析變量之間的原因和結果。由于回歸分析的特定功能，回歸分析也通常被用來進行變量之間的因果分析。但僅靠回歸分析還不能對變量間的因果關系做出最后的判斷，必須與經濟行為的定性分析等相結合。 ⑶ 回歸分析是計量經濟學的方法論基礎，其主要內容包括： ? 根據(jù)樣本觀察值對經濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程； ? 對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗； ? 利用回歸方程進行分析、評價及預測。 9 注意事項 ① 不線性相關并不意味著不相關。 ② 有相關關系并不意味著一定有因果關系。 ③ 回歸分析和相關分析：都是 研究隨機變量間的統(tǒng)計依賴關系，并能測度線性依賴程度的大小，不關注具體的依賴關系。但它們并不意味著一定有因果關系。 ④ 相關分析：僅僅從統(tǒng)計數(shù)據(jù)上測度變量間的相關程度，無需考察兩者間的因果關系， 對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的。 ⑤回歸分析：更注重變量間的因果關系和具體的依賴關系， 對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量），前者是隨機變量，后者不是。 10 二、簡單線性相關分析 △ 總體相關系數(shù) △ 樣本相關系數(shù) △ 樣本相關系數(shù)的取值范圍 △ 相關系數(shù)的顯著性檢驗 △ 線性相關理論的局限性 11 總體相關系數(shù) ? 總體相關系數(shù)。 通過觀察散點圖只能得到兩個變量之間相關關系的一個粗略概念。要想精確刻畫他們之間的相關程度，需要采用一個數(shù)量指標 —相關系數(shù)來描述。大致進行分析判斷。兩個變量 X、 Y之間真實的相關程度，使用總體相關系數(shù) ρ來表示的，即： ? ρ=Cov(X,Y)/ [(Var(X)Var(Y)] 1/2=σXY/(σX2σY2)1/2 ? 可以證明總體相關系數(shù)的取值范圍定義為 1到 1之間，即： ρ∈ [1， 1]，當 ρ其取不同值時，兩變量間的相關關系也就確定了。 12 樣本相關系數(shù) ○ 樣本相關系數(shù)。 由于兩個變量 X、 Y之間的總體相關系數(shù) ρ一般無法獲得，因此經常用某個特定的樣本相關系數(shù) r作為總體相關系數(shù) ρ的一個估計值（或替代值）。假定：有一個樣本容量為 n的樣本，在 X、 Y平面上的散點圖如下： ? 今令均值為： X=∑Xi/n， Y=∑Yi/n； ? 令離差變量為： xi=XiX， yi=YiY。 Yi ? 在散點圖上作均值 X、 Y的直線 。 . . ? xi、 yi表示第 i個觀測點與均值 Ⅱ . .Ⅰ . ? (X、 Y)偏離的遠近和方向 。 . . . . ○ 在散點圖上： 當 (Xi， Yi) 落在 Y . . . . Ⅰ 、 Ⅲ 象限時， xi、 yi同號， . yi . . . 即 xiy i0；否則 xiy i0； . ..xi . ○ 當多數(shù)點 落在第 Ⅰ 、 Ⅲ 象限時 . .(Xi,Yi) ∑xiy i0；否則 ∑xiy i0。 0 X Xi 因此， 由 ∑xiy i的數(shù)值符號，可以看出 X、 Y的相關類型，而由∑xiy i的數(shù)值大小可以看出 X、 Y的近似相關程度。 13 ○ 但是， 在由 ∑xiy i的數(shù)值符號和大小所提供的相關類型和近似相關程度的信息中，存在兩點不足： ? 第一， ∑xiy i的數(shù)值大小受觀測點數(shù)目 n的影響。為校正該點的不足，利用與樣本容量 n有關的量： n1去除 ∑xiy i， ? 則得到表達式： ∑xiyi/(n1)，即 X、 Y的樣本協(xié)方差：SXY=∑xiyi/(n1)。 ? 第二， ∑xiy i的數(shù)值大小受 X、 Y的計量單位的影響。為校正該點的不足，利用 X、 Y的標準差 SX、 SY之乘積去除樣本協(xié)方差 SXY，即表達式： SXY/(SXS Y) 。 ○ 因為 SX、 SY與 X、 Y的計量單位相同，所以表達式SXY/(SXS Y)的比值不受計量單位的影響。因此，我們定義樣本相關系數(shù)的表達式為： ○ r=SXY/(SXS Y)=SXY/(SX2S Y2)189。=[∑xiy i/(n1)]/[∑xi2/(n1)∑yi2/(n1)]189。 ○ 即：樣本相關系數(shù)： r =∑xiyi/[∑xi2∑yi2]189。 14 樣本相關系數(shù)的取值范圍 ○ 可以證明： r∈ [1， 1] ○ 案例 ： 證明：當 Xi、 Yi完全相關時， ∣ r∣ =1 ○ 證明：設樣本容量為 n，當 Xi、 Yi完全相關時，有： ① Yi=?0+?1Xi， 即： (Xi， Yi)均在一條直線上。 ②兩端連加則有： ∑Yi=n?0+?1∑Xi， 同除 n： Y=?0+?1X；即：均值 (X， Y)也在直線 Yi=?0+?1Xi上。 ③兩式①、②相減得到： Yi Y =?1(Xi–X) ， 即： yi=?1 xi ④ 兩邊同乘 xi， yi分別得到： xi yi=?1 xi2 ， yi2=?1 xi yi， 即： ∑xi yi= ?1∑xi2； ∑yi2= ?1∑xi yi ⑤ 將上式代入樣本相關系數(shù)： r =∑xiy i/[∑xi2∑yi2] 1/2公式，即可得到： ∣ r∣ =1 15 相關系數(shù)的顯著性檢驗（相關檢驗） ○ 相關系數(shù)在統(tǒng)計上是否顯著，即總體之間是否顯著線性相關，必須進行相應的顯著性檢驗，簡稱相關檢驗。相關檢驗步驟如下： ⑴首先計算樣本相關系數(shù) r。 ⑵根據(jù)樣本容量 n和顯著性水平 α（置信水平），查相關系數(shù)表，得到臨界值（自由度為 n2） rα。 ⑶檢驗判斷：當 ∣ r∣ rα時，則 X， Y顯著線性相關，否則不顯著。 16 線性相關理論的局限性 ⑴ 上述線性相關理論， 只適應于兩個變量間的線性關系，當r=0時，只表示 X， Y線性無關，并不意味著 X， Y相互獨立。 ⑵ 線性相關理論， 只能反映變量之間相互關系的密切程度，并不意味著任何函數(shù)關系。 ⑶ X， Y間的高度相關可能源于以下幾種情況： ①、 X， Y間存在因果關系；②、 X， Y同時受到某個因素的影響，但并無因果關系，如時間；③、 X， Y間的相關關系純屬偶然，稱之為假相關、偽相關或偶然相關。 ⑷ 線性相關系數(shù) r是用來衡量所有觀測值的點 (Xi， Yi)圍繞直線的密集程度 ，但它不能確定直線方程及其任何形式，不能給出該直線的函數(shù)式及其參數(shù)值。 ⑸ 不同斜率的直線，其相關系數(shù)可能是相同的。 17 三、總體回歸函數(shù) △ 回歸分析 △ 案例分析 △ 總體回歸函數(shù) 18 回歸分析 ○ 回歸分析： 相關關系的特征是不確定性，一個變量不能依據(jù)其他有關變量的數(shù)值，精確地、一一對應地求出其數(shù)值。但是，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，找出變量之間在數(shù)量變化方面的統(tǒng)計規(guī)律，這種統(tǒng)計規(guī)律所表現(xiàn)出來的數(shù)量關系就叫做 回歸關系 ，描述這種回歸關系的數(shù)學公式就稱為 回歸方程 ； ○ 有關回歸關系的計算方法和理論稱為 回歸分析 。又分為：一元回歸分析（方程）、多元回歸分析（方程）；線性回歸分析（方程）、非線性回歸分析（方程）。 ○ 回歸分析 關心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的 對應值的平均值 ○ 回歸分析 的主要目的有三點：①、根據(jù)樣本觀測值，對模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程；②、對回歸方程、模型參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；③、利用回歸方程進行預測和控制。 19 案例分析： ? 案例 ： 一個假想的社區(qū)有 100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平？ ? 為達到此目的，將該 100戶家庭劃分為組內收入差不大（可支配收入水平）的 10組，以分析每一可支配收入組的家庭消費支出。 ○ 由于不確定因素的影響，對同一收入水平 X，不同家庭的消費支出可能不完全相同；見下表： 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入與消費支出統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046