【正文】 1 第二章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型： 一元線性回歸模型 ? 回歸分析概述 ? 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 一元線性回歸模型檢驗 ? 一元線性回歸模型預(yù)測 ? 實例分析 2 ? 授課目標(biāo)與要求： ? 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一元線性回歸模型，是課程最基礎(chǔ)的內(nèi)容。通過教學(xué)，要求學(xué)生達(dá)到： ? 理解經(jīng)典線性單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)，包括回歸分析、假設(shè)檢驗和區(qū)間估計； ? 熟練掌握經(jīng)典線性單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法，包括基本假設(shè)、模型估計和統(tǒng)計檢驗； ? 理解最小二乘原理和最大或然原理，以及在模型估計中的應(yīng)用。 ? 本章重點(diǎn)和難點(diǎn)： ? 第二節(jié)：一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 第三節(jié)：一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 3 167。 回歸分析概述 一、 回歸分析的基本概念 二、 簡單線性相關(guān)分析 三、 總體回歸函數(shù)（ PRF） 四、 隨機(jī)擾動項 五、 樣本回歸函數(shù)（ SRF） 4 一、回歸分析的基本概念 △ 變量間的關(guān)系 △ 相關(guān)分析的基本概念 △ 回歸分析的基本概念 △ 幾點(diǎn)注意事項 5 1. 變量間的關(guān)系 ⑴ 確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。 ⑵統(tǒng)計依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是隨機(jī)變量間的非確定關(guān)系。 又分為簡單相關(guān)（存在于兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系）和多重相關(guān)（存在于三個及以上變量之間的相關(guān)關(guān)系）。 ⑶模糊關(guān)系（隨機(jī)變量的似有似無） ? ? 2, 半徑半徑圓面積 ??? ??f? ?施肥量陽光降雨量氣溫農(nóng)作物產(chǎn)量 ,f?6 相關(guān)分析的基本概念 ⑴ 相關(guān)關(guān)系， 是指兩個或兩個以上的變量，其 樣本序列觀測值 之間表現(xiàn)出來的隨機(jī)數(shù)學(xué)關(guān)系，常用相關(guān)系數(shù)來衡量，主要用來判斷變量間是否相關(guān)。如果兩個變量樣本序列觀測值之間的相關(guān)系數(shù)的絕對值為 1，則二者之間具有完全的相關(guān)關(guān)系。 ⑵ 偏相關(guān)關(guān)系， 是指一個變量與其他兩個或兩個以上變量的線性組合之間的相關(guān)關(guān)系。該變量與每一個變量間的相關(guān)系數(shù)又稱偏相關(guān)系數(shù)。 ⑶ 因果關(guān)系， 是指兩個或兩個以上的變量，在行為機(jī)制等方面上的依賴性。因果關(guān)系有單向因果關(guān)系和雙向因果關(guān)系之分。 如：價格與供給，價格與需求，投資與 GDP等。 ? 具有因果關(guān)系的變量之間一定具有數(shù)學(xué)上的相關(guān)關(guān)系；而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間并不一定就具有因果關(guān)系。 如：GDP與一棵小樹的生長速度，中國 GDP與印度人口的關(guān)系。 ⑷ 相關(guān)分析， 是判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)分析方法，一般是通過計算變量之間的相關(guān)系數(shù)來實現(xiàn)。 7 ○ 對變量間 統(tǒng)計依賴關(guān)系 的考察主要是通過 相關(guān)分析（ correlation） 或 回歸分析（ regression） 來完成的。 ○ 相關(guān)分析是討論變量之間相關(guān)程度的一種統(tǒng)計分析方法。在相關(guān)分析中，通常假設(shè)兩個變量：①對其是同等看待的，②不考慮其因果關(guān)系，③對自變量和因變量不加區(qū)別，④兩個變量均是 隨機(jī)變量 。 正相關(guān) 線性相關(guān) 不相關(guān) 相關(guān)系數(shù) (1≤ρ≤1) 統(tǒng)計依賴關(guān)系 負(fù)相關(guān) 有因果關(guān)系 回歸分析 正相關(guān) 無因果關(guān)系 相關(guān)分析 非線性相關(guān) 不相關(guān) 負(fù)相關(guān) 8 回歸分析的基本概念 ⑴ 回歸分析， 回歸分析也是判斷變量間是否相關(guān)的一種數(shù)學(xué)分析方法，他著重判斷一個隨機(jī)變量與一個或幾個可控變量之間是否具有依賴關(guān)系的計算方法和理論。 ? 其目的 在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。 ⑵因果分析， 是分析變量之間的原因和結(jié)果。由于回歸分析的特定功能，回歸分析也通常被用來進(jìn)行變量之間的因果分析。但僅靠回歸分析還不能對變量間的因果關(guān)系做出最后的判斷，必須與經(jīng)濟(jì)行為的定性分析等相結(jié)合。 ⑶ 回歸分析是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括： ? 根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟(jì)計量模型參數(shù)進(jìn)行估計，求得回歸方程； ? 對回歸方程、參數(shù)估計值進(jìn)行顯著性檢驗； ? 利用回歸方程進(jìn)行分析、評價及預(yù)測。 9 注意事項 ① 不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)。 ② 有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系。 ③ 回歸分析和相關(guān)分析：都是 研究隨機(jī)變量間的統(tǒng)計依賴關(guān)系，并能測度線性依賴程度的大小，不關(guān)注具體的依賴關(guān)系。但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。 ④ 相關(guān)分析：僅僅從統(tǒng)計數(shù)據(jù)上測度變量間的相關(guān)程度，無需考察兩者間的因果關(guān)系， 對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機(jī)的。 ⑤回歸分析：更注重變量間的因果關(guān)系和具體的依賴關(guān)系， 對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量），前者是隨機(jī)變量，后者不是。 10 二、簡單線性相關(guān)分析 △ 總體相關(guān)系數(shù) △ 樣本相關(guān)系數(shù) △ 樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍 △ 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 △ 線性相關(guān)理論的局限性 11 總體相關(guān)系數(shù) ? 總體相關(guān)系數(shù)。 通過觀察散點(diǎn)圖只能得到兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的一個粗略概念。要想精確刻畫他們之間的相關(guān)程度，需要采用一個數(shù)量指標(biāo) —相關(guān)系數(shù)來描述。大致進(jìn)行分析判斷。兩個變量 X、 Y之間真實的相關(guān)程度，使用總體相關(guān)系數(shù) ρ來表示的，即： ? ρ=Cov(X,Y)/ [(Var(X)Var(Y)] 1/2=σXY/(σX2σY2)1/2 ? 可以證明總體相關(guān)系數(shù)的取值范圍定義為 1到 1之間，即： ρ∈ [1， 1]，當(dāng) ρ其取不同值時，兩變量間的相關(guān)關(guān)系也就確定了。 12 樣本相關(guān)系數(shù) ○ 樣本相關(guān)系數(shù)。 由于兩個變量 X、 Y之間的總體相關(guān)系數(shù) ρ一般無法獲得，因此經(jīng)常用某個特定的樣本相關(guān)系數(shù) r作為總體相關(guān)系數(shù) ρ的一個估計值（或替代值）。假定：有一個樣本容量為 n的樣本，在 X、 Y平面上的散點(diǎn)圖如下： ? 今令均值為： X=∑Xi/n， Y=∑Yi/n； ? 令離差變量為： xi=XiX， yi=YiY。 Yi ? 在散點(diǎn)圖上作均值 X、 Y的直線 。 . . ? xi、 yi表示第 i個觀測點(diǎn)與均值 Ⅱ . .Ⅰ . ? (X、 Y)偏離的遠(yuǎn)近和方向 。 . . . . ○ 在散點(diǎn)圖上： 當(dāng) (Xi， Yi) 落在 Y . . . . Ⅰ 、 Ⅲ 象限時， xi、 yi同號， . yi . . . 即 xiy i0；否則 xiy i0； . ..xi . ○ 當(dāng)多數(shù)點(diǎn) 落在第 Ⅰ 、 Ⅲ 象限時 . .(Xi,Yi) ∑xiy i0；否則 ∑xiy i0。 0 X Xi 因此， 由 ∑xiy i的數(shù)值符號，可以看出 X、 Y的相關(guān)類型，而由∑xiy i的數(shù)值大小可以看出 X、 Y的近似相關(guān)程度。 13 ○ 但是， 在由 ∑xiy i的數(shù)值符號和大小所提供的相關(guān)類型和近似相關(guān)程度的信息中，存在兩點(diǎn)不足： ? 第一， ∑xiy i的數(shù)值大小受觀測點(diǎn)數(shù)目 n的影響。為校正該點(diǎn)的不足，利用與樣本容量 n有關(guān)的量： n1去除 ∑xiy i， ? 則得到表達(dá)式： ∑xiyi/(n1)，即 X、 Y的樣本協(xié)方差：SXY=∑xiyi/(n1)。 ? 第二， ∑xiy i的數(shù)值大小受 X、 Y的計量單位的影響。為校正該點(diǎn)的不足，利用 X、 Y的標(biāo)準(zhǔn)差 SX、 SY之乘積去除樣本協(xié)方差 SXY，即表達(dá)式： SXY/(SXS Y) 。 ○ 因為 SX、 SY與 X、 Y的計量單位相同，所以表達(dá)式SXY/(SXS Y)的比值不受計量單位的影響。因此，我們定義樣本相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式為： ○ r=SXY/(SXS Y)=SXY/(SX2S Y2)189。=[∑xiy i/(n1)]/[∑xi2/(n1)∑yi2/(n1)]189。 ○ 即：樣本相關(guān)系數(shù)： r =∑xiyi/[∑xi2∑yi2]189。 14 樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍 ○ 可以證明： r∈ [1， 1] ○ 案例 ： 證明：當(dāng) Xi、 Yi完全相關(guān)時， ∣ r∣ =1 ○ 證明：設(shè)樣本容量為 n，當(dāng) Xi、 Yi完全相關(guān)時，有： ① Yi=?0+?1Xi， 即： (Xi， Yi)均在一條直線上。 ②兩端連加則有： ∑Yi=n?0+?1∑Xi， 同除 n： Y=?0+?1X；即：均值 (X， Y)也在直線 Yi=?0+?1Xi上。 ③兩式①、②相減得到： Yi Y =?1(Xi–X) ， 即： yi=?1 xi ④ 兩邊同乘 xi， yi分別得到： xi yi=?1 xi2 ， yi2=?1 xi yi， 即： ∑xi yi= ?1∑xi2； ∑yi2= ?1∑xi yi ⑤ 將上式代入樣本相關(guān)系數(shù)： r =∑xiy i/[∑xi2∑yi2] 1/2公式，即可得到： ∣ r∣ =1 15 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（相關(guān)檢驗） ○ 相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計上是否顯著，即總體之間是否顯著線性相關(guān)，必須進(jìn)行相應(yīng)的顯著性檢驗，簡稱相關(guān)檢驗。相關(guān)檢驗步驟如下： ⑴首先計算樣本相關(guān)系數(shù) r。 ⑵根據(jù)樣本容量 n和顯著性水平 α（置信水平），查相關(guān)系數(shù)表，得到臨界值（自由度為 n2） rα。 ⑶檢驗判斷：當(dāng) ∣ r∣ rα?xí)r，則 X， Y顯著線性相關(guān)，否則不顯著。 16 線性相關(guān)理論的局限性 ⑴ 上述線性相關(guān)理論， 只適應(yīng)于兩個變量間的線性關(guān)系，當(dāng)r=0時，只表示 X， Y線性無關(guān)，并不意味著 X， Y相互獨(dú)立。 ⑵ 線性相關(guān)理論， 只能反映變量之間相互關(guān)系的密切程度，并不意味著任何函數(shù)關(guān)系。 ⑶ X， Y間的高度相關(guān)可能源于以下幾種情況： ①、 X， Y間存在因果關(guān)系；②、 X， Y同時受到某個因素的影響，但并無因果關(guān)系，如時間；③、 X， Y間的相關(guān)關(guān)系純屬偶然，稱之為假相關(guān)、偽相關(guān)或偶然相關(guān)。 ⑷ 線性相關(guān)系數(shù) r是用來衡量所有觀測值的點(diǎn) (Xi， Yi)圍繞直線的密集程度 ，但它不能確定直線方程及其任何形式，不能給出該直線的函數(shù)式及其參數(shù)值。 ⑸ 不同斜率的直線，其相關(guān)系數(shù)可能是相同的。 17 三、總體回歸函數(shù) △ 回歸分析 △ 案例分析 △ 總體回歸函數(shù) 18 回歸分析 ○ 回歸分析： 相關(guān)關(guān)系的特征是不確定性，一個變量不能依據(jù)其他有關(guān)變量的數(shù)值，精確地、一一對應(yīng)地求出其數(shù)值。但是，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，找出變量之間在數(shù)量變化方面的統(tǒng)計規(guī)律，這種統(tǒng)計規(guī)律所表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系就叫做 回歸關(guān)系 ，描述這種回歸關(guān)系的數(shù)學(xué)公式就稱為 回歸方程 ； ○ 有關(guān)回歸關(guān)系的計算方法和理論稱為 回歸分析 。又分為：一元回歸分析（方程）、多元回歸分析（方程）；線性回歸分析（方程）、非線性回歸分析（方程）。 ○ 回歸分析 關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的 對應(yīng)值的平均值 ○ 回歸分析 的主要目的有三點(diǎn)：①、根據(jù)樣本觀測值，對模型參數(shù)進(jìn)行估計，求得回歸方程；②、對回歸方程、模型參數(shù)估計值進(jìn)行顯著性檢驗；③、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制。 19 案例分析： ? 案例 ： 一個假想的社區(qū)有 100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費(fèi)支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關(guān)系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平？ ? 為達(dá)到此目的，將該 100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不大（可支配收入水平）的 10組，以分析每一可支配收入組的家庭消費(fèi)支出。 ○ 由于不確定因素的影響，對同一收入水平 X，不同家庭的消費(fèi)支出可能不完全相同；見下表： 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入與消費(fèi)支出統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046