【正文】 1 2020 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 . 我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的 , 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用 處 和參考文獻(xiàn)中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以 保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將 受到嚴(yán)肅處理 。 我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話） ： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊(duì)員 (打印并 簽名 ) ： 1. 2. 3. 指導(dǎo)教師 或 指導(dǎo)教師 組負(fù)責(zé)人 (打印并 簽名 )： 日期： 年 月 日 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 2 2020 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 編 號(hào) 專 用 頁 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）： 評(píng) 閱 人 評(píng) 分 備 注 全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）： 全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 3 城市表層土壤重金屬污染分析 摘要 本題主要通過對(duì)重金屬污染濃度的分析，畫出濃度的空間分布圖，建立相關(guān)的模型，得出該地區(qū)的重金屬污染程度、污染原因以及污染源的所在位置。 針對(duì)不同重金屬具有不同的污染源， 對(duì) 不同區(qū)域 重 金屬元素濃度值進(jìn)行分析。運(yùn)用克拉格差值法， 畫出各重金屬的濃度 等高線圖。從水平和垂直方向考慮濃度分布， 在水平面與海拔上對(duì)金屬濃度分別分析，得出在三維空間內(nèi)濃度的分布狀況?？紤] 到 區(qū)域內(nèi) 各種重金屬元素 污染程度， 及 不同區(qū)域內(nèi)元素的 綜合 污染狀況不同， 先運(yùn)用地積累法，對(duì)各 區(qū)域內(nèi)不同元素 分別考慮 其污染程度， 再對(duì)每個(gè)區(qū)域 用 內(nèi)梅羅綜合污染指數(shù)法 得出該地區(qū) 綜合 污染程度。 根據(jù)給出的樣本數(shù)據(jù)對(duì)各種重金屬 元素 之間的相關(guān)性進(jìn)行分析， 得出相關(guān)性矩陣， 對(duì)于相關(guān)性比較明顯的重金屬，我們可以認(rèn)為其來源大致相同，即有相同的污染源。然后 采用 KMO 法 和 Bartlett 法對(duì)原始數(shù)據(jù) 進(jìn)行主成分分析適宜性檢驗(yàn) ， 在此基礎(chǔ)上 進(jìn)一步對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析 ，確定影響比較顯著的 幾種 重金屬元素，從而簡(jiǎn)化模型，方便分析重金屬污染的主要原因。 在分析重金屬污染傳播的特征 時(shí) ， 可以 結(jié)合大氣擴(kuò)散模型和水體對(duì)流擴(kuò)散模型的偏微分方程 建立重金屬元素的 對(duì)流擴(kuò)散模型 。為求具體污染源的位置， 在對(duì)擴(kuò)散模型簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上， 利用反演擴(kuò)散模型方程來求污染源。反演方程可以用 遺傳算法 來 實(shí)現(xiàn)，把問題轉(zhuǎn)化為建立一個(gè)非線性最優(yōu)化問題。 比較用差分方法 反演 擴(kuò)散模型與遺傳算法 反演 擴(kuò)散模型 的優(yōu)缺點(diǎn)，得出差分方法是建立在把偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程進(jìn)而求解各個(gè)點(diǎn)處的濃度隨時(shí)間變化差異性確定污染源，針對(duì)樣本數(shù)據(jù)分 布不規(guī)律，需要進(jìn)行插值處理，會(huì)給模型的精度帶來較大影響。而 遺傳算法具有極好的全局優(yōu)化性能 ,減少了陷入局部極值的風(fēng)險(xiǎn) , 特別對(duì)非線性優(yōu)化問題具有很強(qiáng)的適應(yīng)性 ，所以采用遺傳算法反演擴(kuò)散方程，具有較好的合理性。但由于未考慮模型里的對(duì)流項(xiàng)以及海拔的影響，導(dǎo)致其誤差較大，如能提供該地區(qū)具體的工業(yè)排放區(qū)及交通要道等的具體密集情況，進(jìn)一步減小污染源位置的范圍和個(gè)數(shù)的初始值，可以提高遺傳算法得出的污染源的具體位置的準(zhǔn)確性。 關(guān)鍵詞：等高線圖 相關(guān)性 主成分分析 遺傳算法 反演 擴(kuò)散方程 4 目錄 問題重 述 ……………………………………………………………… .3 問題分析 ……………………………………………………………… .3 、對(duì)問題一的分析 ………………………………………………… 3 、對(duì)問題二的分析 ………………………………………………… 3 、對(duì)問題 三 的分析 ………………………………………………… 4 、對(duì)問題四的分析 ………………………………………………… 4 模型假設(shè) ……………………………………………………………… .4 符號(hào)說明 ……………………………………………………………… .4 模型的建立與求 解 …………………………………………………… .5 、問題一的模型建立與求解 ……………………………………… 5 、重金屬空間分布 ………………………………………… ...5 、 重金屬的污染程度的分析 ……………………………… ...8 、問題二的模型建立和求解 ……………………………………… 11 、重金屬相關(guān)性分析 ……………………………………… ...11 、 土壤重金屬主成分分析 …………………………………… 13 、問題 三 的模型建立和 求解 ……………………………………… 15 污染物傳播特征的分析 …………………………………… 15 模型建立和求解 …………………………………………… 15 模型可行性分析 …………………………………………… 18 ……………………………………………… 19 優(yōu)缺點(diǎn) 分析 ………………………………………………… 19 模型 優(yōu)化 …………………………………………………… 19 參考文獻(xiàn) ……………………………………………………………… 20 附錄 … ………………………………………………………………… .21 5 問題重述 隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。 按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為 1 類區(qū)、 2 類區(qū)、??、 5 類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。 現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土 壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1 公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里 1 個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（ 0~10 厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用 GPS 記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照 2 公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。 附件 1 列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件 2 列出了 8 種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件 3 列出了 8 種主要重金屬元素的背景值。 現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來 完成以下任務(wù)： (1) 給出 8 種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。 (2) 通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。 (3) 分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？ 問題分析 對(duì) 問題一 的分析 題目要求統(tǒng)計(jì)出 8 重金屬元素在城區(qū)的空間分布，需要考慮重金屬元素在 X，Y， Z 三維空間的濃度分布特征。由附件給出的數(shù)據(jù)分析 得， 當(dāng) X， Y 的坐標(biāo)確定之后，該點(diǎn)的海拔 高度 Z 相應(yīng)確定下來。 所以在統(tǒng)計(jì) 重金屬的空間分布時(shí)，可以 先考慮元素濃度和平面位置的關(guān)系，再通過海拔分布圖分析元素分布與海拔之間的關(guān)系。 對(duì)這八種重金屬元素分別單獨(dú)考慮，利用附件中各元素在城區(qū)的樣本濃度，采用克立格插值法，應(yīng)用 SUPFER 軟件對(duì) 各元素 含量分布進(jìn)行空間 分析， 可分別 繪制出 8 種 重金屬元素 的 空間 等高線 分布圖。 利用附件給出了的各重金屬元素在當(dāng)?shù)氐谋尘爸?，可以運(yùn)用地積累指數(shù)法來分析該城區(qū)不同區(qū)域 8 種重金屬元素各自的污染程度。同時(shí)，也可以運(yùn)用 內(nèi)梅羅指數(shù)法綜合評(píng) 判該城區(qū)各區(qū)域內(nèi)的重金屬污染程度。 對(duì) 問題二 的分析 根據(jù)附件給出的數(shù)據(jù)，我們分區(qū)域考慮，確定每個(gè)區(qū)域里 8種重金屬元素相互之間的相關(guān)性， 相關(guān)性較顯著的重金屬元素可以認(rèn)為來自于同一個(gè)污染源 ， 由 6 此可 以大致確定每個(gè)區(qū)域污染源的種類 。 因?yàn)槊總€(gè)區(qū)域中重金屬的種類較多，相互之間又具有比較明顯的相關(guān)性，所以我們可以 在 采用 KMO法 和 Bartlett法對(duì)原始數(shù)據(jù) 進(jìn)行主成分分析適宜性檢驗(yàn) 的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步考慮使用主成分分析法， 由此分析出每個(gè)區(qū)域影響比較顯著的若干種重金屬，從而確定出重金屬污染的主要原因 。 對(duì) 問題三 的分析 重金屬元素傳播途徑主要有水流傳播、土壤滲透、大氣擴(kuò)散等。在城區(qū)我們主要考慮以大氣擴(kuò)散方式傳播。由此，我們通過對(duì)流擴(kuò)散方程建立模型，從中體現(xiàn)重金屬傳播的主要 特性。在隨時(shí)間的傳播過程中，污染源所在地的濃度隨時(shí)間的變化率較大。由此可以通過對(duì)模型的反演確定污染源的大概位置。 對(duì)問題四的分析 前三個(gè)問題的求解模型雖然可以比較合理地解決問題，但是也存在一定的局限性。由此我們可以進(jìn)一步收集該城區(qū)土壤成分的信息，建立更優(yōu)化的模型。 模型假設(shè) 固定時(shí)間內(nèi)污染元素濃度保持穩(wěn)定。 元 素污染濃度在水平面與海拔高度的分布成獨(dú)立的相關(guān)性。 污染元素的擴(kuò)散只受水平面的擴(kuò)散影響。 污染元素在水平面的擴(kuò)散在各方向的擴(kuò)散速度相同。 污染源的位置大致固定，不隨時(shí)間變化。 符號(hào)說明 Ci： 重金屬 污染物 i的實(shí)測(cè)濃度 Bi： 重金屬元素 n的背景值 Igeo： 地積累指數(shù) PI： 重金屬 污染物 i的污染指數(shù) Si： 重金屬 污染物 i的 國家 標(biāo)準(zhǔn)值 Pmax：某區(qū)域 中 重金屬 單項(xiàng)污染指數(shù)最大值 Pave：某區(qū)域 所有 重金屬 單項(xiàng)污染指數(shù)的平均值 IPI： 某區(qū)域 土壤中重金屬綜合污染指數(shù) x? ： x方向上的網(wǎng)格步長 Ex ： x方向的擴(kuò)散系數(shù) Ey ： x方向的擴(kuò)散系數(shù) Ez ： x方向的擴(kuò)散系數(shù) 7 模型的建立和求解 問題一 的模型建立和求解 重金屬空間分布的求解 克里格插值法（ Kriging）是用協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)來確定高程變量隨空間距離而變化的規(guī)律 ,以距離為自變量的變異函數(shù) ,計(jì)算相鄰高程值關(guān)系權(quán)值 ,在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要方法之一。 根據(jù) 采 樣點(diǎn)各重金屬元素的含量 分布 ，采用克立格插值法，應(yīng) 用 SUPFER 軟件對(duì) 海拔高度和 8 種重金屬 的 含量分布進(jìn)行空間分析，可繪出以下空間分布圖。 圖 511 海拔分布圖 圖 512 As 空間 分布圖 由圖 512 分析得， As 元素濃度較高部分在左圖呈明顯黑色的三個(gè)區(qū)域中，說明這三個(gè)區(qū)域 As 元素污染較嚴(yán)重。同時(shí)考慮濃度與海拔的關(guān)系，右圖呈現(xiàn)各濃度主要分布在海拔高度為 0— 100m之間的范圍內(nèi)，且與海拔無特別關(guān)系。 8 圖 513 Cd 空間分布圖 由圖 513 分析得， Cd 元素濃度較高部分在左圖中的幾個(gè)顏色較深的區(qū)域，且該元素在城區(qū)內(nèi)的污染都比 較嚴(yán)重。 由右圖得在海拔高度為 0— 100m 的范圍內(nèi)均有濃度分布，且濃度較高部分