【正文】 第 14章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 動(dòng)力計(jì)算概述 單自由度體系的自由振動(dòng) 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 多自由度體系的自由振動(dòng) 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 頻率的近似計(jì)算 知識(shí)點(diǎn) 教學(xué)基本要求 了解結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)，能夠判斷動(dòng)力計(jì)算自由度； 掌握單體系振動(dòng)微分方程的建立方法。 掌握單自由度體系在不同的動(dòng)荷載作用下強(qiáng)迫振動(dòng) 的分析方法以及動(dòng)力特性。掌握阻尼對(duì)單自由度體 系動(dòng)力特性的影響。 理解柔度法和剛度法建立振動(dòng)微分方程的思路。掌 握兩個(gè)自由度體系的頻率方程和自振頻率的求解， 理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。 了解計(jì)算頻率的幾種近似法 能夠正確計(jì)算單自由度體系的固有頻率和周期。 167。 動(dòng)力計(jì)算概述 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容 1)特點(diǎn)：靜力荷載與動(dòng)力荷載的特點(diǎn)及其效應(yīng)。 靜力荷載 是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這 類荷載 對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì) ，由它所引起的內(nèi)力和變形都 是確定的。 動(dòng)力荷載 是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類 荷載 對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略 ，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加 速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。 與靜力計(jì)算的對(duì)比 ： 兩者都是建立平衡方程，但動(dòng)力計(jì)算，利用動(dòng)靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)。建立的 平衡方程是微分方程 。 2)目的和內(nèi)容 計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) ：內(nèi)力、位移、速度與加速度，使結(jié)構(gòu)在動(dòng)內(nèi)力 與靜內(nèi)力共同作用下滿足強(qiáng)度和變形的要求。 動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容 ：研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和 方法。 涉及到內(nèi)外兩方面的因素： (1）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）； (2）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、振型和阻尼等等），類似靜力學(xué)中的 I、 S等； 計(jì)算動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力及其幅值。 P(t ) t P t 簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化） 一般周期荷載 動(dòng)力荷載分類 按起變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為： 1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。 （轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力） 2）沖擊荷載 ： 短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載） P t P(t ) t tr P tr P 動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度 確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為 體系的振動(dòng)自由度 。 實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來(lái)都是無(wú)限自由度體系。 計(jì)算困難，常作簡(jiǎn)化如下： 1)集中質(zhì)量法 把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無(wú)限自由度的問題簡(jiǎn)化成有 限自由度問題。 3）隨機(jī)荷載 ： (非確定性荷載 ) 荷載在將來(lái)任一時(shí)刻的數(shù)值無(wú)法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載） 2個(gè)自由度 y2 y1 2個(gè)自由度 自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等 m mm梁 m +αm梁 I I 2I m +αm柱 廠房排架水平振時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖 單自由度體系 水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系 多自由度體系 構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊 θ(t) v(t) u(t) 4個(gè)自由度 m1 m2 m3 2個(gè)自由度 )(xmy(x,t) x 無(wú)限自由度體系 2)廣義座標(biāo)法： 如簡(jiǎn)支梁的變形曲線可用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示 ???nkk lxktatxy1s i n)(),( ? 用幾條函數(shù)曲線來(lái)描述體系的振動(dòng)曲線就稱它是幾個(gè)自由度體系，其中 lxk?sin —— 是根據(jù)邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。 ak(t) —— 稱廣義座標(biāo)，為一組待定參數(shù)，其個(gè)數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將無(wú)限自由度體系簡(jiǎn)化為有限自由度體系。 x y x )(.) , . .. . .. . .(),( 21 xxx n???a1， a2， …….. an ??? nkkk xatxy1)(),( ?y(x,t) 動(dòng)力計(jì)算的方法 動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理） )()( tymtP ???m 0)()( ?? tymtP ??………….. 運(yùn)動(dòng)方程 m 設(shè)其中 )()( tItym ?? ??P(t) ＝ I(t) ………….. 平衡方程 I(t)－ 慣性力，與加速度成正比，方向相反 )()( tymtP ???改寫 成 虛功原理（拉格朗日方程） 哈米頓原理（變分方程 ） ?都要用到抽象的虛位移概念 )(tym ??? 自由振動(dòng)： 體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。 靜平衡位置 m獲得初位移 y? m獲得初速度 ??y自由振動(dòng)產(chǎn)生原因 ：體系在初始時(shí)刻（ t=0）受到外界的干擾。 研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于： 1)它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。 2)它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。 自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。 要解決的問題包括： 建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼 ……… . 167。 單自由度體系的自由振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)微分方程的建立 方法：達(dá)朗伯爾原理 應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程） 1)剛度法： 研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立平衡方程。 m . . yj . yd 靜平衡位置 質(zhì)量 m在任一時(shí)刻的位移 y(t)=yj+yd k 力學(xué)模型 . yd m m W S(t) I(t) + 重力 W 彈性力 )()()( dj yyktkytS ????? 恒與位移反向 慣性力 )()()( dj yymtymtI ?????? ?????Wyykyym djdj ???? )()( ????……………( a) 其中 kyj=W 0?jy??上式可以簡(jiǎn)化為 0?? dd kyym ??或 ). .. .. . (. .. .. . .. ... .. .. . .. ... .. .. . .. ..0 bkyym ????由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱 剛度法。 Wyykyym djdj ???? )()( ????……………( a) 2)柔度法： 研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。 . . m 靜平衡位置 I(t) ).(. .. .. .. . ..)()()( ctymtIty ?? ?????0)( ?? ytym ???k1??? 可得與 (b) 相同的方程 剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。 自由振動(dòng)微分方程的解 ). .. .. . (. .. .. . .. ... .. .. . .. ... .. .. . .. ..0 bkyym ????改寫為 0?? ymky?? 02 ?? yy ???其中 mk?2?它是二階線性齊次微分方程，其一般解為： ). .. .. (. .. .. . .. ..c o ss i n)( 21 dtCtCty ?? ??積分常數(shù) C1， C2由初始條件確定 設(shè) t=0 時(shí) ???????? vyyy)0()0(??????????vCyC12（ d） 式可以寫成 )......(........ ..s i nc os)( etvtyty ??? ?? ?? 由上式可知，位移是由初位移 y?引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度 v?引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成 . 由上式可知，位移是由初位移 y?引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度 v?引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng) , 令 ??? c os,s i n AvAy ?? ??(e)式改寫成 ). .. (. .. .. .. . ..) . .. .. . .. .s i n ()( ftAty ?? ??它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中 A和 ?可由下式確定 ). . . . . . . . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .122gvytgvyA????????????????????????振幅 相位角 )......(........ ..s i nc os)( etvtyty ??? ?? ??)......(........ ..s i nc os)( etvtyty ??? ?? ??). .. .. (. .. .. .. .. .) . .. .. .. ..s i n ()( ftAty ?? ??y 0 t y? y? T T T ??v??v?y t 0 y t 0 ? ? ??A A ty ?cos?tv ?? sin??????? ? ??? tA s in結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率 由式 )s i n ()( ?? ?? tAty及圖可見位移方程是一個(gè) 周期函數(shù)。 T y t 0 ? ? ??A A 周期 ,2???T工程頻率 ),(21 HzTf ????園頻率 Tf??? 22 ??計(jì)算頻率和周期的幾種形式 stgWgmmk????? ???1gkmT st??? ?? 22其中 δ——是沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移 。 k——使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力 。 Δ st=Wδ ——在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加數(shù)值為 W的荷載時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移 。 計(jì)算時(shí)可根據(jù)體系的具體情況，視 δ 、 k、 Δ st 三參數(shù)中哪一個(gè)最便于計(jì)算來(lái)選用。 一些重要性質(zhì) ： （ 1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力只影響振幅 。 （ 2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率越?。?；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。 （ 3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。反之，兩個(gè)外形看來(lái)并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力性能基本一致 ,是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。 例 1. 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。 m EI l /2 l /2 1 EIl483?? 348mlEI?? EImlT 4823??例 。 m l A,E,I H?E,I 1 HH m ??1?E,A 1 V?VV m ??1?? I I EI1=? m h 1??k 26hEI26hEI26hEI26hEI例 。 312hEI312hEI由截面平衡 324hEIk ?324mhEImk ???EImhT223??例 圖示三根單跨梁， EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量 m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解： 1）求 δ EIl4831 ??P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EIlllllEIl7687)325216322(61 321 ???????EIl76 87 32 ?? EIl19 233 ??311481mlEIm????322 77681mlEIm????3331921mlEIm????據(jù)此可得 ： ω1? ω2 ? ω3= 1 ? ? 2 結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng) ,其剛度越大 ,剛度越大 ,其自振動(dòng)頻率也越大。 1 θ 例 求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。 解法 1：求 k θ=1/h MBA=kh = MBC k l h m I→ ∞ EI B A C lhEIlEI 33 ?? ?lmhEImk23???23lhEIk ??1 h 解法 2：求 δ EIlhhlhEI 33221 2???2