條件概率與隨機(jī)變量的獨(dú)立性(已修改)
2025-05-11 12:03 本頁面
【正文】 167。 條件概率與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 一、條件分布的概念 在第一章中，曾介紹了條件概率的概念，那是對隨機(jī)事件 而說的。本節(jié)要從事件的條件概率引入隨機(jī)變量的條件概率分 布的概念 。 引例 考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分 別以 X和 Y表示其體重和身高，則 X和 Y都是隨機(jī)變量，它們都有 一定的概率分布?，F(xiàn)在若限制 Y(米 )，在這個條件下去 求 X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在 和 ，然后在挑出的學(xué)生中求其體重 的分布。 設(shè) X是一個隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ( ) { }XF x P X x??x? ? ? ? ??若另有一事件 A已經(jīng)發(fā)生，并且 A的發(fā)生可能會對事件 {X≤x},則對任一給定的實(shí)數(shù) x，記 ( | ) { | }XF x A P X x A??并稱 為在 事件 A發(fā)生的條件下， X的條件分布函數(shù) 。 ( | )XF x A條件分布函數(shù) 例 1 設(shè) X在區(qū)間 [0， 1]上服從上的均勻分布 , 求在已知 X1/2 的條件下的條件分布函數(shù)。 解 因?yàn)?X在 [0,1]上服從均勻分布，其分布函數(shù)為 0 , 0( ) , 0 11 , 1xF x x xx? ??? ? ??? ??由于 X在 [0,1]上服從均勻分布，故 1{ 1 2 }2PX ??當(dāng) 時， 12X ? { , 1 2 } 0P X x X? ? ?當(dāng) 時， 12X ? 1{ , 1 2 } ( )2P X x X F x F??? ? ? ? ????1()2Fx??由條件分布函數(shù)的定義，有 1 { , 1 2 }|2 { 1 2 }P X x XP x XPX???? ???????11,1221,12xxx?? ? ???? ?? ???0 , 0( ) , 0 11 , 1xF x x xx? ??? ? ??? ??從而 0 , 1 2( | 1 2) , 1 2 11 , 1xF x X x xx? ??? ? ? ??? ??二、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè) A是隨機(jī)變量 Y所生成的事件 : A={Y≤y}，且 則有 { } 0P Y y??{ , } ( , )( | ){ } ( )YP X x Y y F x yF x Y yP Y y F y??? ? ?? 一般地 , 由于隨機(jī)變量 X， Y之間存在相互聯(lián)系 ,因而一個隨機(jī)變量的取值可能會影響另一個隨機(jī)變量的取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 在何種情況下 , 隨機(jī)變量 X， Y之間沒有上述影響 , 而具有所謂的“ 獨(dú)立性 ” , 我們引入如下定義。 定義 1 設(shè)隨機(jī)變量 (X， Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x， y), 邊緣分布函數(shù)為 FX(x)， FY(y), 若對任意實(shí)數(shù) x， y,有 { , } { } { }P X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ?即 ( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y?則稱 隨機(jī)變量 X和 Y相互獨(dú)立 。 注： 若隨機(jī)變量 X和 Y相互獨(dú)立，則聯(lián)合分布由邊緣分布惟一確定。 定理 1 隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立的充要條件是 X所生成的任何事件與 Y生成的任何事件獨(dú)立 , 即 , 對任意實(shí)數(shù)集 A, B,有 { , } { } { }P X A Y B P X A P Y B? ? ? ? ? 定理 2 如果隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 , 則對任意函數(shù) ， ，均有 和 相互獨(dú)立。 1()gx2()gy 1()gX 2()gY證 令 1 ( ),gX? ? 2 ( ),gY? ?對任意 x， y，記 1 1{ | ( ) }xD t g t x?? 2 2{ | ( ) }yD t g t y??則由定理 1，有 12{ , } { ( ) , ( ) }P x y P g X x g Y y??? ? ? ? ?12{ , }xyP X D Y D? ? ?12{ } { }xyP X D P Y D? ? ?{ } { }P x P y??? ? ?從而，由定義知 和 相互獨(dú)立。 ? ?關(guān)于兩個隨機(jī)變量的獨(dú)立性的概念可以推廣到n個隨機(jī)變量的情形 三、離散型隨機(jī)變量的條件分布與獨(dú)立性 設(shè) (X， Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其概率分布為 { , }i j ijP X x Y y p? ? ?, 1, 2 ,ij ?由條件概率公式，當(dāng) 時，有 { } 0jP Y y??{ , }{ | }{}ijijjP X x Y yP X x Y yP Y y??? ? ??ijjpp?稱其為 在 的條件下隨機(jī)變量 X的條件概率分布 。 jYy?類似地，定義 在 的條件下隨機(jī)變量 Y的條件概率函數(shù)： iXx?{ , }{ | }{}ijjiiP X x Y yP Y y X xP X x??? ? ??ijipp??1, 2,i ?1, 2,j ?條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì)。 定義 2 若對 (X， Y)的據(jù)有可能取值 (xi， yj)，有 { , } { } { }i j i jP X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ?即 ij i jp p p??? , 1, 2 ,ij ?則稱 X和 Y相互獨(dú)立。 例 2 設(shè) X和 Y的聯(lián)合分布律為 X Y 1 0 2 0 0 0 1 2 (1)求 Y=0時， X的條件概率分布； (2)判斷 X與是否相互獨(dú)立？ 解 (1) { 0 } 0 . 2 0 . 0 5 0 0 . 2 5PY ? ? ? ? ?在 Y=0時， X的條件概率分布為 { 0 , 0 } 0 . 2{ 0 | 0 } 0 . 8{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ??{ 1 , 0 } 0 . 0 5{ 1 | 0 } 0 . 2{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ?? X Y 1 0 2 0 0 0 1 2 { 2 , 0 } 0{ 2 | 0 } 0{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ??即 X 0 1 2 P{X=xi|Y=0} 0 同理 { 0 } 0 . 1 0 . 2
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1