尺度空間ppt課件(已修改)
2025-05-10 23:58 本頁(yè)面
【正文】 第七章 尺度空間在不同的應(yīng)用背景中，圖像的光滑程度是不同的，是經(jīng)過不同程度的圖像光滑而得到的，將這些圖像光滑變換有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，就形成了抽象框架 —— 尺度空間。前面討論的是單個(gè)變換的性質(zhì)，現(xiàn)在討論尺度空間中一族圖像變換所具有的特性。首先，尺度空間賦予兩個(gè)方面的限制條件：一方面與尺度空間的結(jié)構(gòu)有關(guān)，包括規(guī)則性、局部比較原則和金字塔結(jié)構(gòu)。另一方面的限制與不變性有關(guān)，包括平移不變性、伸縮不變性、歐氏不變性和仿射不變性以及灰度平移不變性和對(duì)比不變性，依次討論在不同限制條件下尺度空間所具有的特性。另外，尺度空間具有一個(gè)重要的特征 —— 被一個(gè)偏微分方程所控制。 尺度空間的定義尺度空間（ scale space）是一個(gè)抽象的框架，從算法的觀點(diǎn)看，是濾波器的迭代。在這個(gè)框架中，可以分析濾波器迭代所具有的逼近性質(zhì)，對(duì)濾波器進(jìn)行分類。例如，所有的線性濾波器都可以歸為一類，因?yàn)樗械木€性濾波器局部化和迭代后都收斂于同 一個(gè)結(jié)果 —— 熱傳導(dǎo)方程初值問題的解。定義 1：一族以 t≥0為參數(shù)的圖像光滑算子 Tt稱為一個(gè) 尺度空間 ，記為 {Tt}t∈ R+，其中 t稱為 尺度參數(shù) 。對(duì)于一副圖像 u0(x)，稱 Ttu0是圖像在 u0在尺度 t的映像，尺度參數(shù) t定量的反映圖像被光滑的程度。在尺度空間上定義一個(gè)性質(zhì)比較好的代數(shù)結(jié)構(gòu)：定義 2：稱尺度空間具有 金字塔 （ pyramidal）結(jié)構(gòu)，如果 T0 = id，任取 t， h，存在Tt+h,t，使得 Tt+h= Tt+h,t Tt ，其中 Tt+h,t被稱為 轉(zhuǎn)移算子 ， id是圖像的恒等變換。圖刻畫了此結(jié)構(gòu)，說明光滑程度較大的 Tt+su0可以在尺度空間 {Tt}t∈ R+中沿一條光滑圖像所組成的路徑Ttu0(t﹤ s)到達(dá)。Tt+sTt+s,tTtTt+su0u0Ttu0如果 Tt+h,t=Th，則該尺度空間就構(gòu)成了一個(gè)有恒等元（圖像的恒等變化）的半群。定義 3：尺度空間 {Tt}t∈R+ 是 遞歸 的（ recursive），如果對(duì)于任意的 s,t﹥ 0和圖像 u T0 = id 和 Tt+s(u) = Ts 。 Tt(u)如果滿足遞歸條件，那么 Tt可以 Tt/n迭代 n次得到。所有的運(yùn)算都是對(duì)圖像信息作組合，沒有其它的特征在這個(gè)過程中加入進(jìn)來(lái)，所以參數(shù) t越大，圖像內(nèi)容就越簡(jiǎn)單，即，圖像 u0在尺度 s﹥ t的映像 Tsu0 比 Ttu0‘簡(jiǎn)單 ’。 例 ：前面把熱傳導(dǎo)方程初值問題在 t時(shí)刻的解作為圖像光滑算子，記為 Rt。不同時(shí)刻的 Rt就組成一個(gè)尺度空間 {Rt}t∈ R+， Rt(u0)就是 ‘圖像 u0在尺度空間 {Rt}t∈ R+中尺度 t的映像 ’，記方程在 t時(shí)刻的解為 ut，在 t+s時(shí)刻的解為 ut+s，容易證明 ut+s也是下面方程 s時(shí)刻的解，滿足定義 3。 尺度空間的性質(zhì)再為尺度空間加上一些限制條件，一部分是由圖像變換所必須滿足的一些基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化而成的，另一部分是為了導(dǎo)入偏微分方程作為分析尺度空間的數(shù)學(xué)工具而特別添加的。定義 4：設(shè) x,y為圖像中的點(diǎn)， y在 x的某一鄰域中。如果兩幅圖像 u,v滿足u(y)﹥ v(y)，那么存在足夠小的 h滿足 (Tt+h,tu)(x) ≥ (Tt+h,tv)(x)如果對(duì)于任意點(diǎn) x∈ W式都成立，則稱尺度空間{Tt}t∈R+ 滿足局部比較原則（ local parison principle）。如果尺度空間 {Tt}t∈ R+滿足局部比較原則，那么經(jīng)過一個(gè)很短的 ‘時(shí)間 ’h后，圖像u局部比 v亮（灰度值大）的這種特性依然得到保留。為導(dǎo)入偏微分方程提出下面的定義，首先約定一個(gè)記號(hào) , 表示內(nèi)積，即對(duì)于圖像支撐集中的兩點(diǎn) x = (x1,x2),y = (y1,y2) x, y = x1y1 + x2y2定義 5：假設(shè) y在 x的某個(gè)鄰域中，具有 u(y) = 1/2 A(yx),yx + p,yx + c *形式的函數(shù) u被稱為是一個(gè)二次式，其中 A是一個(gè) 22的對(duì)稱矩陣， p是一個(gè) 2維向量， c為一個(gè)常數(shù)。稱尺度空間是 規(guī)則的 （ regular），如果存在一個(gè)函數(shù)F(A,p,x,c,t)，它對(duì)于 A是連續(xù)的，并且 (Tt+h,tu u)(x) ∕h → F(A,p,x,c,t) 當(dāng) h → 0 **定義說明 ：（ 1）根據(jù)圖像模型的假設(shè) u∈ C2，那么圖像可以作以下的展開 u(y) = u(x) + Du(x),yx + 1/2 D2u(x)(yx),yx + o(|xy|2)*式中二次式 u的特殊之處就是 o(|xy|2)為 0， **成立也僅僅局限于二次式（ 2） F擁有 5個(gè)自變量 A,p,x,c,t，實(shí)質(zhì)卻是 9個(gè)實(shí)數(shù)自變量。其中對(duì)稱矩陣 A包含 3個(gè)實(shí)參數(shù)；一個(gè)二維向量 p包含 2個(gè)實(shí)參數(shù)；常數(shù) c是一個(gè)實(shí)參數(shù)；一個(gè)二維點(diǎn) x包含 2個(gè)實(shí)參數(shù)；正的尺度參數(shù) t是一個(gè)實(shí)參數(shù)。定義 6：稱尺度空間是 因果的 （ causal），如果它是規(guī)則的，同時(shí)滿足局部比較原則和金字塔結(jié)構(gòu)。例 ： Extrema kill算子，其步驟一、事先給定一個(gè)閾值 t；二、記圖像 u在灰度 l的水平集為 cu(l)，它由若干個(gè)連通區(qū)域 cau(l)組成三、去除面積比閾值 t小的區(qū)域，則改變了原水平集，新水平集定義為（ meas為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度）四、圖像變換的結(jié)果 Ttu(x)由 ‘最大值表示公式 ’得到， Ttu(x) = sup { l。 x∈ cu(l,t) }上述算子定義中的尺度參數(shù) t實(shí)際上是一個(gè)面積參數(shù)，由此組成的尺度空間{Tt}t∈ R+具有一下的性質(zhì)：（ 1）滿足金字塔結(jié)構(gòu)，令 t = 0，則T0u(x) = sup { l。 x∈ cu( l,0) }= sup { l。 x∈ cu(l) }=u(x)所以 T0 = id。定義轉(zhuǎn)移算子 Tt+h,t ，可以驗(yàn)證， Tt+h = Tt+h,tTt。事實(shí)上， Extrema killer算子
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