管理類聯(lián)考初數(shù)整除詳解(已修改)
2025-04-19 22:05 本頁面
【正文】 管理類聯(lián)考初數(shù)（一）整除數(shù)的整除整除的定義：當整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商正好是整數(shù)而余數(shù)為零時，則稱a能被b整除，或b能整除a，記作b∣a。 當b∣a時，稱a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)（因數(shù)）。 0能被任何整數(shù)整除，1能整除任何整數(shù)。整除的性質(zhì)： 傳遞性：若a∣b，b∣c，則a∣c 可加可減性：若a∣b，a∣c，則a∣（b177。c） 可乘性，若a∣b，則a∣mb 可拆性：若ab∣c，則a∣c，b∣c ★互質(zhì)可除性：若a∣mb，且（a，m）=1，則a∣b （注：（a，m）即兩數(shù)的最大公因數(shù)，（a，m）=1代表兩數(shù)互質(zhì)。關(guān)于最大公因數(shù)和互質(zhì)的知識將在后面介紹，如果同學(xué)們已經(jīng)遺忘可以翻到相應(yīng)篇章進行學(xué)習(xí)。）例1：若a∣b，b∣c，則當m=（ ）時，m∣c。（A） （B）（C）（D）（E）解析：令例2：是一個整數(shù)。 （1） 是一個整數(shù)，且也是一個整數(shù)； （2） 是一個整數(shù)，且也是一個整數(shù)。解析：利用整除性質(zhì)做題條件（一）是一個整數(shù)，14∣3n，由于（14，3）=1，所以14∣n條件（二）是一個整數(shù)，n∣7，根據(jù)整除性質(zhì)無法推出n∣14。所以選（A）整除的特征（用處：快速判別某數(shù)能否被常用數(shù)整除或快速分解質(zhì)因數(shù)） 能被2/5整除的數(shù)：個位能被2/5整除； 能被3/9整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被3/9整除； 能被4/25整除的數(shù)：末兩位（個位和十位）數(shù)字必能被4/25整除； 能被11整除的數(shù)：奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差能被11整除。 能被113整除的數(shù)（末三位法）：將后三位與前幾位做差（大減?。?，判斷差能否能被7/11/13整除。 例3：數(shù)A能被11整除。（1） A是形如abcabc的數(shù)（a是1~9的整數(shù)，b、c均為0~9的整數(shù)）；（2） A=解析：直接利用整除特征做題條件（1），利用末三位法，abc－abc=0，11∣0，所以abcabc是11的倍數(shù)；條件（2）利用奇偶數(shù)位和做差法，奇數(shù)位之和：310+1=31，偶數(shù)位之和210=20，差為31－20=11，是11的倍數(shù)，所以（2）也充分答案選（D）例4：一個班的同學(xué)圍成一圈，每位同學(xué)的一側(cè)是一位同性同學(xué)，而另一側(cè)是兩位異性同學(xué)，則這班的人數(shù) （ ）（A）一定是4的倍數(shù) （B）不一定是4的倍數(shù) （C） 一定不是4的倍數(shù)（D） 一定是2的倍數(shù)，不一定是4的倍數(shù) （E）以上均不正確解析：通過分析具體的情境判斷數(shù)的性質(zhì)設(shè)有同學(xué)A1，和他（她）同性的仍記為A2，異性的記為B，則A兩側(cè)的排列應(yīng)該是A2A1B1B2，說明在這些同學(xué)中，任取相鄰的四個人都是兩男兩女，所以必是四的倍數(shù)。選A。連續(xù)n個數(shù)乘積可被n整除原則。連續(xù)n個正整數(shù)之積一定是n的倍數(shù)。推廣：連續(xù)n個數(shù)乘積一定是n！的倍數(shù)。例5：若是一個大于100的整數(shù)，則一定有約數(shù) （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）以上均不正確解析：利用連續(xù)n個數(shù)乘積可被n！整除原則。 =，有定理：連續(xù)個數(shù)的乘積一定能被整除。所以既能被2整除，又能被3整除，故選B。練習(xí)題：，能被3整除或被5整除的數(shù)的個數(shù)是（ ）個。（A）64 （B）48 （C）56 （D）46 （E）552. 如果是3的倍數(shù)，是2的倍數(shù)，那么必然是（ ?。┑谋稊?shù)。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）93. 。（1） 且；（2） 且。4. 一個三位數(shù)能被3整除，去掉它的末位數(shù)后，所得的兩位數(shù)是17的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大的是（ ）（A）858 （B）855 （C）852 （D）849 （E）8685. 是整數(shù)。（1） 若（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)），是一個整數(shù)；（2） 若（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)），是一個整數(shù)。若，則（ ）（A） 必然是2的倍數(shù)（B） 必然是3的倍數(shù)（C） 必然至少是6的倍數(shù)（D） 必然不能被任何數(shù)整除（E） 不一定是某個數(shù)的倍數(shù) 有（ ）個四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的各位數(shù)字都能整除它本身。（A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）6下面說法中有（ ）是正確的。（1）0可以被任何整數(shù)整除；（2） 如果則；（3） 一個數(shù)是4的倍數(shù)，必然是2的倍數(shù)；（4） 如果1078是7的倍數(shù)，3647也是7的倍數(shù)，那么必然也是7的倍數(shù)。（是正整數(shù)）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4練習(xí)題講評： 前120個正整數(shù)中，能被3整除的數(shù)有40個，能被5整除的數(shù)有24個，能同時被3和5整除的數(shù)（即能被15整除）有8個。 根據(jù)容斥原理（后文將有介紹），要求的應(yīng)該是40+24－8=56個。選（C） 顯然m必然是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)。選（C）。 兩個數(shù)互為倍數(shù)，這兩個數(shù)必然相等，條件（1）充分；條件（2）顯然也充分，選（D） 17的兩位數(shù)倍數(shù)最大是85，個位最大是8時，組成的三位數(shù)能被3整除。選（A） 條件（1），當時，顯然結(jié)論不成立，
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