【正文】 江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）1競(jìng)賽講座一 函數(shù)的性質(zhì)第一講 函數(shù)的單調(diào)性一．學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)判斷較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決最值問題及解不等式、解方程。二．知識(shí)要點(diǎn)單調(diào)性的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的單調(diào)性三．例題講解例 是 上的減函數(shù)，那么 的取值范圍是????????1)(x log4)13()axfa(,)???a（A） （B）(0, 1(0,3（C） （D）[)73 [)7【答案】C【解析】由題意知 在 上為減函數(shù)，所以 ①，)1(log(??xxfa),(??10?a 在 上為減函數(shù)，所以 ②，且當(dāng) 時(shí)，4)1)(???axf ?3?1?x ③，由①②③得答案為 C.??例 2 已知函數(shù) ，判斷該函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性，并說明理由．f( ?),?【講解】用定義判斷。 設(shè) 0 ＜ , = ? ? +?1x2)(21xf1?x122x = +?12? =( ? )( ? )1x21?x12x ∵ ＞ ＞0,∴ ＜12?x 1 12?又∵ ＜ ∴( ? )( ? )＞011x21?x12x∴ ∴該函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)遞增。)(2fxf??),0?例 3. 已知 f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求 g ( x )的單調(diào)增區(qū)間． 【講解】很明顯這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，所以應(yīng)“分層剝離”為兩個(gè)函數(shù) t=－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②對(duì)于②f ( t ) = +9,可知當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。)1(?1,??t ),1(??對(duì)于①由 t=－x 2+2＞1 得 ，當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。?x0, ,0(x由 t=－x 2+2＜1 得 或 ，當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。?)(??x )1?由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(0,1) 。,例 4. 已知函數(shù) 有如下性質(zhì)：如果常數(shù) ，那么該函數(shù)在 上是減函數(shù)，在ayx??a??,a??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）2上是增函數(shù)。?,a????（1）如果函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，求 的值。2(0)byx?????,4??4,??b（2）設(shè)常數(shù) ，求函數(shù) 的最大值和最小值；??1,4c?(12)cfxx???（3）當(dāng) 是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù) 的單調(diào)性，并說明理由。n()0ng?【講解】： (1) 由已知得 =4, ∴b= (2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2], 于是,當(dāng) x= 時(shí), 函數(shù) f(x)=x+ 取得最小值 2 .xccf(1)－f(2)= ,2?當(dāng) 1≤c≤2 時(shí), 函數(shù) f(x)的最大值是 f(2)=2+ ；2當(dāng) 2≤c≤4 時(shí), 函數(shù) f(x)的最大值是 f(1)=1+c.(3)設(shè) 0x1x2,g(x2)－g(x 1)= .)1)((2212 nnnn xcxcx???? 當(dāng) x1x2 時(shí), g(x 2)g(x1), 函數(shù) g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù)；nc2 2 當(dāng) 0x1x2 時(shí), g(x 2)g(x1), 函數(shù) g(x)在(0, ] n 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),g(x)是奇函數(shù),函數(shù) g(x) 在(－ ∞,－ ]上是增函數(shù), 在[－ ,0) 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí), g(x)是偶函數(shù), 函數(shù) g(x)在(－∞,－ )上是減函數(shù), 在[－ ,0] n例 5 設(shè) x, y∈R，且滿足 ，求 x+y.????????1)(197(3yyxx【講解】 設(shè) f(t)=t3+1997t，先證 f(t)在（ ∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若 ab，則 f(b)f(a)=b3a3+1997(ba)=(ba)(b2+ba+a2+1997)0，所以 f(t)遞增。由題設(shè) f(x1)=1=f(1y)，所以 x1=1y，所以 x+y=2.例 6． 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?R，且對(duì)任意 ∈R 都有 ，當(dāng)?12,1212()()fxfxf??時(shí)， ， ，試判斷在區(qū)間[ －3,3]上 是否有最大值或最小值，若有，求出0x?)0f?1f ()f其最大值或最小值，若沒有，說明理由.【講解】： 設(shè) ∈R 且 ，則 ，所以 .12,x2x10x??210??∴ ＝1()[()]()ffff??1)()fxffx＝ . ∴0f?所以 在 R 上為減函數(shù)，在 [－3,3]上， .f maxmin3,yfyf?因?yàn)?，令 則 ，(3)2)()3(ff?120,()?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）3令 ，則 ，所以 ，所以 為12,xx??(0)()fxf???()(fxf??()fx奇函數(shù)，所以在區(qū)間[－3,3]上， .ma min33,3yaya?例 7 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足：（1） （2） 恒成立（3）若()f[,]1f0f?，則有 . 12120,???212()()fff?求函數(shù) 的最大值和最小值 .fx【講解】：設(shè) ，∴ ，由（2）知 .?0x??1()x?則 21211()[()]()ff???21(fffx?＝ ，即 ，所以 在 ??[0,]故函數(shù) 在 的最大值和最小值分別為 和 .x,]f()在(3)中令 ，得 ，∴ ，根據(jù)（ 2）知120()0ff?(0)f?∴ ，所以函數(shù) 的最大值和最小值分別為 3 和 0.(0)f?x四．課后練習(xí)：（1）函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ __ _．142?y（2）函數(shù) 遞減區(qū)間是__ _．)3(log?a f(x)在定義域（1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又 f(1a)+f(1a2)0，求 a 的取值范圍。：ln( ＋x )＋ln( ＋2x)＋3x＝024. 設(shè) 是定義在 R 上的函數(shù)并滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)任意 ∈[0,1]都有 ；② 且 .12,112(()ff?(1)0f??1?（1）求 ；（2）求證：當(dāng) 時(shí)， 在 [0,1]上是增函數(shù) .()fa?x5. 已知 是定義在 上的奇函數(shù)，且 ，當(dāng) 時(shí)，有x[,]?()f,[,]0mnn???.0fmfn??（1）證明 在 是增函數(shù)；（2）解不等式()f[1,] 1()()2fxf??第二講 函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性一．學(xué)習(xí)目標(biāo)利用函數(shù)的奇偶性及圖像的對(duì)稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，巧妙利用數(shù)形結(jié)合，使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的.二．知識(shí)要點(diǎn)。、偶函數(shù)的定義域必是關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域。 ，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱。y：若函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)的一切 有：)(xfy?x⑴ = ，則函數(shù)圖像關(guān)于 軸對(duì)稱。)(xf?f ⑵ =? ，則函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。( ⑶ = 或 = （ 為常數(shù)） ，函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱。af?)xf(f)2a?ax? ⑷ 與 = 關(guān)于 軸對(duì)稱； 與 =? 關(guān)于 軸對(duì)稱；)y??y(xf?y)(f江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）4 與 =? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 與 = 關(guān)于 對(duì)稱。)(xfy?)(xf?)(xfy?)(yfx?三．例題講解例 1．函數(shù) 的圖像關(guān)于（ ）1fA． 軸對(duì)稱 B． 直線 對(duì)稱 yxyC． 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D． 直線 對(duì)稱?【答案】C【解析】 是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?？疾楹瘮?shù)奇偶性的性質(zhì)。1()fx??例 ,若 ，則 的值為 （ ）3sin()xR??(2fa?()fa? 【答案】B【解析】 為奇函數(shù)，又3()1sifx??()f?()1f?故 即a()0fa例 3. f ( x )是奇函數(shù)，x＞0 時(shí)，f ( x ) = x (4－3x )，那么 x＜0 時(shí) f ( x ) = _______．【答案】x (4+3x)【解析】設(shè) x＜0，則? x ＞0，∴f ( ?x ) = ?x (4+3x)，又∵f ( x ) 是奇函數(shù)∴ =?)(f?(xf ∴? = ?x (4+3x)，∴ = x (4+3x)(ff例 是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng) 時(shí) 是單調(diào)函數(shù),則滿足 的所有 之和)f 0?(f 3())4fx??為 ( ) A. B. C. ?8?【答案】C【解析】：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運(yùn)用。依題當(dāng)滿足 時(shí)，即3())4xf??時(shí)，得 ，此時(shí) 又 是連續(xù)的偶函數(shù)，4x??230x????()fx∴ ，∴另一種情形是 ，即 ，得 ，∴()ff?()4ff?2530x∴滿足 的所有 ()4fx?x(5)8.??例 R 上的函數(shù) 滿足：對(duì)任意 ，有 ,則下列12,R?1212()fxff?說法一定正確的是 （ ）(A) 為奇函數(shù) （B） 為偶函數(shù)()f ()f(C) 為奇函數(shù) （D） 為偶函數(shù)1x?x【答案】C【解析】令 ，得 ， ，0?()201ff?()f??所以 ， ，()fx??()10fx??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）5即 ，所以 為奇函數(shù),選 C()1[()1]fxfx???()1fx?例 6 函數(shù) y = f ( x ) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，總有 （1）f (a－x ) = f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論； （2）f (a－x ) =－f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論． 【解（1） 】 設(shè) y = f (a－x ) = f ( b + x )則點(diǎn) P (a－x，y )，Q ( b + x， y) 都在函數(shù) y = f (x)的圖像上． ∵ ，且 P、Q 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，2)???∴ PQ 垂直直線 ，且被其平分， ∴ P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱 ，2ba??而 P、Q 又是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱．2ba??問題:當(dāng) a=0,b=0 函數(shù) f(x)具有什么性質(zhì) ? 特別地，若 f（a+x）＝f（a－x） ，函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝a 對(duì)稱；【解（2） 】設(shè) y= f (a－x )=－f (b + x ) 則點(diǎn) R (a－x，y)， S ( b+x，－y)都在函數(shù) y = f (x) 的圖像上． ∴ ∴線段 RS 的中點(diǎn)是定點(diǎn) M（ ） ． ???????022b 0,2?即 R、S 兩點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn) M 對(duì)稱，而 R、S 是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)．∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn) M（ ）對(duì)稱．0,2ba?特別地，若 f（a+x ）＝－f（a－x） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.例 f（x ）的定義域?yàn)?R，則下列命題中:①若 f（x－2）是偶函數(shù)，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；②若 f（x+2）＝－f（x －2） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；④函數(shù) y＝f（x－2）與函數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是 .【答案】④【解析】①中 的圖像可由 的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，∴則函數(shù) f（x）的)(f?)(??f圖象關(guān)于直線 x＝?2 對(duì)稱；②中條件可得函數(shù) f（x）的周期為 8；③中函數(shù) y＝f（2+x）的圖像可由的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，函數(shù) y＝f （2－x）的圖象可由函數(shù) = 向右平移 2 個(gè))(fy )(?單位得到，而 與 = 的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱，∴函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f（2－x）)(fy)(xf的圖象仍關(guān)于 軸對(duì)稱；④與③同理。例 8．設(shè)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，則 的值為（ ）1xa???1?aA．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】： 、 在數(shù)軸上表示點(diǎn) 到點(diǎn) 、 的距離，他們的和 關(guān)x?()1fxxa???于 對(duì)稱，因此點(diǎn) 、 關(guān)于 對(duì)稱，所以1xa3a（直接去絕對(duì)值化成分段函數(shù)求解比較麻煩，如取特殊值解也可以）例 9. 已知函數(shù) f（x ）的定義域?yàn)閧 x︱x∈R 且 x≠1} ，f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng) x＜1 時(shí)，f（x）＝2x 2－x+1，則當(dāng) x＞1 時(shí)， f（x）的遞減區(qū)間是 ( )江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）6A． ［ ，+∞ ） B． （1 ， ］ C． ［ ，+∞） D． （1， ］45454747【答案】C【解析】∵f（x +1）為奇函數(shù)，∴其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù) y＝f（x）的圖像可由 的圖)1(??xfy像向右平移 1 個(gè)單位得到，∴y＝f （x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱。先畫出當(dāng) x＜1 時(shí)，f（x）＝2x 2－x+1 的圖像，根據(jù)對(duì)稱性畫出當(dāng) x＞1 時(shí)的圖像，得到 f（x）的遞減區(qū)間是 C例 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且 f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng) 0≤x≤ 時(shí)，f( x)