【正文】 xf??時(shí)，得 ，此時(shí) 又 是連續(xù)的偶函數(shù)，4x??230x????()fx∴ ，∴另一種情形是 ，即 ，得 ，∴()ff?()4ff?2530x∴滿足 的所有 ()4fx?x(5)8.??例 R 上的函數(shù) 滿足：對(duì)任意 ，有 ,則下列12,R?1212()fxff?說法一定正確的是 （ ）(A) 為奇函數(shù) （B） 為偶函數(shù)()f ()f(C) 為奇函數(shù) （D） 為偶函數(shù)1x?x【答案】C【解析】令 ，得 ， ，0?()201ff?()f??所以 ， ，()fx??()10fx??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）5即 ，所以 為奇函數(shù),選 C()1[()1]fxfx???()1fx?例 6 函數(shù) y = f ( x ) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，總有 （1）f (a－x ) = f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論； （2）f (a－x ) =－f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論． 【解（1） 】 設(shè) y = f (a－x ) = f ( b + x )則點(diǎn) P (a－x，y )，Q ( b + x， y) 都在函數(shù) y = f (x)的圖像上． ∵ ，且 P、Q 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，2)???∴ PQ 垂直直線 ，且被其平分， ∴ P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱 ，2ba??而 P、Q 又是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱．2ba??問題:當(dāng) a=0,b=0 函數(shù) f(x)具有什么性質(zhì) ? 特別地，若 f（a+x）＝f（a－x） ，函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝a 對(duì)稱；【解（2） 】設(shè) y= f (a－x )=－f (b + x ) 則點(diǎn) R (a－x，y)， S ( b+x，－y)都在函數(shù) y = f (x) 的圖像上． ∴ ∴線段 RS 的中點(diǎn)是定點(diǎn) M（ ） ． ???????022b 0,2?即 R、S 兩點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn) M 對(duì)稱，而 R、S 是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)．∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn) M（ ）對(duì)稱．0,2ba?特別地，若 f（a+x ）＝－f（a－x） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.例 f（x ）的定義域?yàn)?R，則下列命題中:①若 f（x－2）是偶函數(shù)，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；②若 f（x+2）＝－f（x －2） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；④函數(shù) y＝f（x－2）與函數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是 .【答案】④【解析】①中 的圖像可由 的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，∴則函數(shù) f（x）的)(f?)(??f圖象關(guān)于直線 x＝?2 對(duì)稱；②中條件可得函數(shù) f（x）的周期為 8；③中函數(shù) y＝f（2+x）的圖像可由的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，函數(shù) y＝f （2－x）的圖象可由函數(shù) = 向右平移 2 個(gè))(fy )(?單位得到，而 與 = 的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱，∴函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f（2－x）)(fy)(xf的圖象仍關(guān)于 軸對(duì)稱；④與③同理。 福建) f（x ）是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)，且 f（2）＝0，則方程f（x）＝0 在區(qū)間（ 0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( )A．2 B．3 C．4 D．5第三講 函數(shù)的周期性一．學(xué)習(xí)目標(biāo)能求周期函數(shù)的周期，能利用函數(shù)的周期性及圖像的對(duì)稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題提高學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。二、例題選講1．三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例 1 設(shè) x∈(0, π), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小。x21例 3 若 A，B，C 為△ABC 三個(gè)內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。4．圖象變換：y=s inx(x∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??由 y=sinx 的圖象向左平移 個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到 y=Asin( x+ )的圖象；也可以由 y=sinx 的圖象先保持橫坐1江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）13標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移 個(gè)單?1?位，得到 y=Asin( x+ )的圖象。??????0,43M)43()(xfxf???取 x=0，得 =0，所以 sin)?f .02??????????所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).243???3又 0，取 k=0 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；2?取 k=1 時(shí)， =2，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；取 k=2 時(shí)， ≥ ，此時(shí) f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是單調(diào)函數(shù)，?310?2?綜上， = 或 5．三角公式的應(yīng)用例 6 已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 ，試求BCAcos21cos???的值。cos?2cos?A三、課外練習(xí)⒈ 已知 ，且 。BC=BP?由題設(shè)及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。BA=APcos 4β39。,xy,整()xy?理可得: .39。若 ，延長 AG 交 BC 于 D，A?使 GP=AG，連結(jié) CP，則 因?yàn)?，.P??則 ，所以 GB CP，所以 AG 平分 ?/ P AB CF GD E江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）21同理 BG 平分 CA.所以 G 為重心. 2．證利用定理證明共線例 3 △ABC 外心為 O，垂心為 H，重心為 ：O，G，H 為共線，且 OG：GH=1：2.【證明】 首先 AMA32??= )(1)(31CBCB?.O?其次設(shè) BO 交外接圓于另一點(diǎn) E，則連結(jié) CE 后得 CE .?又 AH BC，所以 AH//CE。b+b2 a(bc)=0. 所以 OE CD。由 和 共線得)1,39。???),32?所以 =4+ ，所以 AF=AE。,且 | |＝| |＝1，| |＝ ，若 ＝ λ +μOC 32CB（ λ ， μ ∈R）,則 λ+μ 的值為 .9. 設(shè)平面上的向量 ，b，x，y 滿足關(guān)系 = y－x，b=2x－y,又設(shè) 與 b 的模為 1,且互相垂直,則aaa與 的夾角為 .xy10. 已知空間四邊形 ABCD 中，ＡＢ 2＋ＣＤ 2＝ＡＤ 2＋ＢＣ 2，求證：AC⊥BD.競賽講座三 數(shù)列第七講 等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列一、學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考及高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考查的重點(diǎn)。數(shù)列求和一般有三種方法：顛倒相加法、錯(cuò)位相減法和通項(xiàng)分解法?？梢岳煤瘮?shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問題。評(píng)說：(1)本題 也可以利用函數(shù)的思想來解，即把 Sn 表示成某一變量的函數(shù)（比如 n），然后再求這個(gè)函數(shù)的最大值。解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，因?yàn)?f(1)= a1+a2+a3+…+an=n2，則 na1+ d=n2,即)(?n2a1+(n1)d= f(1)= a1+a2a3+…an1+an=n,即 =n,d= a1=?∴an=1+2(n1)=2n1.(2)f()= ,把它兩邊都乘以 ，得：n)21()2(5323???? 2nnf )1((1)()1( 13??兩式相減，得： nnf 2)2()2213????= 1()1()(21????nn?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）27= 21)(2)1(2)1(21])([2 ????? nnnn= 。解：(1)因?yàn)?1，a1,a2,a3,…,an，2 成等比數(shù)列，所以 a1an=a2an1=a3an2=…=1 2,從而 An2= ?(a1a2a3…an )(a1a2a3…an)=(a1an)(a2an1)(a3an2)…(ana1)=2n,故 An= .因?yàn)?1，b1,b2,b3,…,bn，2 成等差數(shù)列，所以 b1+bn=1+2=3, 從而 Bn= .??2)(1n3(2)∵An= , Bn= .∴An2=2n,Bn2= 當(dāng) n≥7時(shí)，A n2=2n=(1+1)n= nnn CCC?????123310?≥2( )=2[1+n+ + ]310nC?2)(?6)(=2+2n+n2n+ n3n2+ n= n3+ n+2 n3=n2( n), 當(dāng) n≥7時(shí)， n .1513149所以當(dāng) n≥7時(shí)，A n2 Bn2，故 An Bn評(píng)說：對(duì)于 An 與 Bn 的大小，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。于是70=S30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2)=10(1+r+r2)即 r2+r6=0. 　解得 r=2 或 r=3由于 r=q100 , 所以 r=2故　 S40=10(1+2+22+23例 ，項(xiàng)數(shù)不少于 3，且各項(xiàng)之和為 972，這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？解　 設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為 a，公差為 d，依 題意有江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）29即　 [2a+(n1)d]n=2972, (3)因?yàn)?n 為不小于 3 的自然數(shù)，97 為素?cái)?shù)，故 n 的值只可能為 97，2180。例 x,y 滿足|x|1,| y|1,求證： (第 19 屆莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題)證明：∵| x|1,|y|1，∴x21,y21，故=(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+…　　　　　　 ≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=四、學(xué)生練習(xí)1 數(shù)列｛ an｝的 前 n 項(xiàng) 和 Sn＝a 這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。a2,所以 a2= ，a 3= ,猜想 (n≥1).?4????? )1??n證明；1）當(dāng) n=1 時(shí)，a 1= ，猜想正確。數(shù)列的通項(xiàng) an 或前 n 項(xiàng)和 Sn 中的 n 通常是對(duì)任意 n∈N 成立，因此可將其中的 n 換成 n+1 或 n1 等，這種辦法通常稱迭代或遞推。(qan)+ =1?np22??n 21?q21q+an(pqn+1+qan)]=q( ).222[)(??n 1p若 =0，則對(duì)任意 n, + =0，取 c=0 n?2若 0，則{ + }是首項(xiàng)為 ，公式為 q 的等比2q?121? 212ap?數(shù)列。例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ ，求證：a n 都是整數(shù)，n∈ N+.24?n【證明】 因?yàn)?a1=0, a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng) n≥1 時(shí) an+1an.又由 an+1=5an+ 移項(xiàng)、平方得n ①.00121?????當(dāng) n≥2 時(shí)，把①式中的 n 換成 n1 得 ，即00212????nna ②.211?n因?yàn)?an1an+1，所以 ①式和② 式說明 an1, an+1 是方程 x210anx+ 1=0 的兩個(gè)不等根。例 6 已知 an= (n=1, 2, …)，求 S99=a1+a2+…+?【解】 因?yàn)?an+a100n= + = ，02022??n 1010102)4(4????nn所以 S99= .9)(21911?????n例 7 求和： +…+432.)2(n【解】 一般地， )1()(???kk，?????????2)1()(21k江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）32所以 Sn=???k1)2( ?????? ?????? )2(1)(4312 nn???????)(例 8 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=a2=1，a n+2=an+1+an, Sn 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，求證：S n2。142??nna又因?yàn)?Sn2Sn 且 0,1所以 Sn, 所以 ，1?2?n所以 Sn2，得證。2n1.例 10 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng) an.【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=1,所以 an=α11)(3[4????nna5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。 Cn.??ii1例 12 已知數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通項(xiàng)。②得 。 。log2a3+ 。四、學(xué)生練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題1． 數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn 為{x n}前 n 項(xiàng)和，當(dāng) n≥2 時(shí)，x n=_________.2. 數(shù)列{x n}滿足 x1= ，x n+1= ,則{x n}的通項(xiàng) xn=?3. 數(shù)列{x n}滿足 x1=1，x n= +2n1(n≥2)，則{ xn}的通項(xiàng) xn=?4. 等差數(shù)列{a n}滿足 3a8=5a13，且 a10, Sn 為前 n 項(xiàng)之和，則當(dāng) Sn 最大時(shí)，n=_________.5. 等比數(shù)列{a n}前 n 項(xiàng)之和記為 Sn,若 S10=10，S 30=70，則 S40=___