數(shù)學(xué)二次函數(shù)中絕對(duì)值問(wèn)題的求解策略(已修改)
2025-04-16 04:23 本頁(yè)面
【正文】 二次函數(shù)中絕對(duì)值問(wèn)題的求解策略二次函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中一顆璀璨的“明珠”，而它與絕對(duì)值知識(shí)的綜合，往往能夠演繹出一曲優(yōu)美的“交響樂(lè)”，故成為高考“新寵”。二次函數(shù)和絕對(duì)值所構(gòu)成的綜合題，由于知識(shí)的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性，學(xué)習(xí)解題時(shí)往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對(duì)近年來(lái)各類(lèi)考試中的部分相關(guān)考題，進(jìn)行分類(lèi)剖析，歸納出一般解題思考方法。一、適時(shí)用分類(lèi)，討論破定勢(shì)分類(lèi)討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想。它往往能把問(wèn)題化整為零，各個(gè)擊破，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，收到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的功效。例1 已知f(x)=x2+bx+c (b,cR),（1）當(dāng)b－2時(shí)，求證：f(x)在（－1，1）內(nèi)單調(diào)遞減。（2）當(dāng)b－2時(shí)，求證：在（－1，1）內(nèi)至少存在一個(gè)x0，使得|f(x0)|≥.分析 （1）當(dāng)b－2時(shí)，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸在（－1，1）的右側(cè)，那么f(x)在（－1，1）內(nèi)單調(diào)遞減。（2）這是一個(gè)存在性命題，怎么理解“至少存在一個(gè)x0”呢？其實(shí)質(zhì)是能找到一個(gè)這樣的x0，問(wèn)題就解決了，不妨用最特殊的值去試一試。當(dāng)x=0時(shí)，|f(0)|=|c|,|c|與的大小關(guān)系如何呢？對(duì)|c|進(jìn)行討論：（i）若|c|≥,即|f(0)|≥，命題成立。（ii）若|c|，取x0=－,則.故不論|c|≥還是|c|,總存在x0=0或x0=－使得|f(x0)|≥成立。本題除了取x=－外，x還可取那些值呢？留給讀者思考。二、合理用公式，靈活換視角公式|a|－|b|≤|a177。b|≤|a|+|b|在處理含絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)的作用有時(shí)是不可替代的，常用于不等式放縮、求最值等，思路簡(jiǎn)潔、明快，解法自然、迅捷。例2 已知f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2若|a|+|b|1，求證：|x1|1且|x2|1.解 由韋達(dá)定理，得代入|a|+|b|1，得|x1+x2|+|x1x2|1，又|x1|－|x2|≤|x1+x2|.即|x1|(1+|x2|)1+|x2|。又∵1+|x2|0，∴|x1|1.同理可得|x2|1。例3 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x和y=x均無(wú)公共點(diǎn)，求證：（1）4ac－b21.（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有.分析（1）略。（2）由（1）可知與同號(hào)。三、機(jī)智賦特值，巧妙求系數(shù)變量在某一區(qū)域有某種結(jié)論成立時(shí)，可通過(guò)對(duì)題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標(biāo)導(dǎo)向，賦予一系列特殊的函數(shù)值來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系，使抽象問(wèn)題具體化，從而獨(dú)辟蹊徑，出奇制勝。例4 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)一切x[－1,1],都有|f(x)|≤1，且g(x)=cx2+bx+a，求證：（1）x[－1,1]時(shí)，|2ax+b|≤4.（2）x[－1,1]時(shí)，|g(x)|≤2.證明 （1）由題設(shè)條件，可得又由題意可知要證明時(shí)，|2ax+b|≤4，只要證明|177。2a+b|≤4.同理可證|－2a+b|≤4.（2）|g(x)|=|cx2+bx+a|請(qǐng)讀者仿照例4的方法解決下面一題：例5 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，已知|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1,|f(1)|≤：對(duì)一切,都有分析 借助恒等式,得|g(x)|=|ax+b|注意到,有,故有|g(x)|≤1+1=2.五、聯(lián)想反證法，類(lèi)比創(chuàng)條件對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從正面思考較難，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維，比如借反證法來(lái)找到解決問(wèn)題的途徑。例7 函數(shù)f(x)=x2+ax+b（a,bR），x[－1,1],求證：|f(x)|的最大值M≥.證明 假設(shè)M，則|f(x)|,即令x=0,1,－1,分別代入上式，得 ① ② ③由②+③，得,與①矛盾。點(diǎn)評(píng) 通過(guò)假設(shè)結(jié)論不成立，創(chuàng)設(shè)了時(shí)，|f(x)|恒成立這一常規(guī)而
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