北師版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章相似圖形知識(shí)點(diǎn)講解(已修改)
2025-04-16 03:56 本頁(yè)面
【正文】 九年級(jí)（上）第四章圖形的相似 (1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形. (2) 相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比．一．成比例線(xiàn)段（1）線(xiàn)段的比如果選用同一單位量得兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€(xiàn)段比時(shí)，線(xiàn)段單位要統(tǒng)一。（2）成比例線(xiàn)段在四條線(xiàn)段中，如果的比等于的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．注：①比例線(xiàn)段是有順序的，如果說(shuō),成比例，那么應(yīng)得比例式為：=．②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)， 此時(shí)有。③判斷給定的四條線(xiàn)段是否成比例的方法：第一排：現(xiàn)將四條線(xiàn)段的長(zhǎng)度統(tǒng)一單位，再按大小順序排列好；第二算:分別算出前兩條線(xiàn)的長(zhǎng)度之比與后兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比；第三判：若兩個(gè)比相等，則這四條線(xiàn)段是成比例線(xiàn)段，否則不是（3）比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0） 基本性質(zhì)：① a:b=c:d則有 ad=bc（兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)向之積）；② ②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，．（2） 更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）合、分比性質(zhì)：．（4）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．③ 可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．（4）比例題常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，設(shè)參法，連等設(shè)k法，消元法二，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（1）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理:三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn),所截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. 已知AD∥BE∥CF, 可得等. 注意：是所截的線(xiàn)段成比例，而跟平行線(xiàn)無(wú)關(guān)，所以比例線(xiàn)段中不可能 有AD,BE,CF的比例關(guān)系（2）黃金分割：把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線(xiàn)段黃金分割，點(diǎn)叫做線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，其中≈．即 簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形三．相似三角形的概念相似三角形概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于” ．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．注意：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母按相同的順序?qū)懀@樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．② 兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．③ 全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．三角形中平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理:平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. 由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線(xiàn),所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. ②易錯(cuò)點(diǎn)：(錯(cuò)) (對(duì)) 四．三角形相似的判定方法定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(一)相似三角形的判斷定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．（有些像SAS）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．（二）判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．一共產(chǎn)生三對(duì)相似三角形（三）射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90176。，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BDDC，AB2=BDBC ，AC2=CDBC 。五．相似三角形常見(jiàn)的圖形 下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱(chēng)為“平行線(xiàn)型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）即平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(2) 如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”）（3）
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