中考數(shù)學壓軸題[動點](已修改)
2025-04-16 03:01 本頁面
【正文】 .. . . ..中考數(shù)學壓軸題總結(jié)（動點）（一） 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45176。，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應成比例列關(guān)于m的方程．滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得．解得m＝4．（2）當m＝4時，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小．設對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為．（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2 圖3 圖4②如圖4，作∠CBF＝45176。交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．例2，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．,圖1思路點撥1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便．2．數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．（2）設點P的坐標為．①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時點P的坐標為（2，1）．②如圖3，當點P在點A的右側(cè)時，x＞4，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得不合題意．③如圖4，當點P在點B的左側(cè)時，x＜1，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或． 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．因此．當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1）． （二） 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1 ．思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論
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