中考數(shù)學(xué)壓軸題[動(dòng)點(diǎn)](已修改)
2025-04-16 03:01 本頁面
【正文】 .. . . ..中考數(shù)學(xué)壓軸題總結(jié)（動(dòng)點(diǎn)）（一） 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45176。，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程．滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得．解得m＝4．（2）當(dāng)m＝4時(shí)，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。O(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么．因此．解得．所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為．（4）①如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2 圖3 圖4②如圖4，作∠CBF＝45176。交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．例2，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．,圖1思路點(diǎn)撥1．已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便．2．?dāng)?shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA．滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1＜x＜4，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x＞4，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得不合題意．③如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x＜1，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或． 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．所以．因此．當(dāng)時(shí)，△DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）． （二） 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1 ．思路點(diǎn)撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論
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