【正文】 立體幾何證明題考點1：點線面的位置關(guān)系及平面的性質(zhì)：①空間不同三點確定一個平面；②有三個公共點的兩個平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同一直線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是________．【解析】　由公理3知，不共線的三點才能確定一個平面，所以知命題①錯，②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時)，②錯．③空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點，若為三個交點，則這三線共面，若只有一個交點，則可能確定一個平面或三個平面．⑤中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖(1)所示．在正方體ABCD—A′B′C′D′中，直線BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB與CB不平行，∴⑥錯．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′與CD不相交，∴⑦錯．如圖(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四邊形ABCD不是平行四邊形，故⑧也錯．【答案】　④、m外的任意一點，則(　　)A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面答案　B解析　對于選項A，若過點P有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾．對于選項B，過點P與l、m都垂直的直線，即過P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線．對于選項C，過點P與l、m都相交的直線有一條或零條．對于選項D，過點P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條．，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定 (　　)A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行答案　C解析　若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，則a∥b，與a，b異面矛盾．考點2：共點、共線、共面問題，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是 (　　)【解析】?、僭贏中易證PS∥QR，∴P、Q、R、S四點共面．②在C中易證PQ∥SR，∴P、Q、R、S四點共面．③在D中，∵QR?平面ABC，PS∩面ABC ＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P、Q、R、S四點不共面． ④在B中P、Q、R、S四點共面，證明如下：取BC中點N，可證PS、NR交于直線B1C1上一點，∴P、N、R、S四點共面，設(shè)為α.可證PS∥QN，∴P、Q、N、S四點共面，設(shè)為β.∵α、β都經(jīng)過P、N、S三點，∴α與β重合，∴P、Q、R、S四點共面．【答案】　D，三點共線是這四點共面的 (　　)A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案　A (　　)A．a(chǎn)、b、c兩兩平行 B．a(chǎn)、b、c兩兩相交C．a(chǎn)∥b，c與a、b均相交 D．a(chǎn)、b、c兩兩垂直答案　C，試證三條交線互相平行或者相交于一點．【解析】　設(shè)α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，由a?β，b?β，則a∩b＝O，如圖(1)，或a∥b，如圖(2)，若a∩b＝O，O∈a，a?α，則O∈α，O∈b，b?γ，則O∈γ，又γ∩α＝c，因此O∈c；若a∥b，a?γ，b?γ，則a∥γ，又a?α，α∩γ＝c，則a∥c.因此三條交線相交于一點或互相平行．，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝.(1)求證：三條直線EF，GH，AC交于一點．(2)若在本題中，＝＝2，＝＝3，其他條件不變．求證：EH、FG、BD三線共點．【解析】　(1)∵E，H分別是AB，AD的中點，∴由中位線定理可知，EH綊BD.又∵＝＝，∴在△CBD中，F(xiàn)G∥BD，且FG＝BD.∴由公理4知，EH∥FG，且EHFG.∴四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底．∴兩腰EF、GH所在直線必相交于一點P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交線上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直線AC.故EF、GH、AC三直線交于一點．(2)∵＝＝2，∴EF∥AC.又＝＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EFHG.∴四邊形EFGH為梯形．設(shè)EH與FG交于點P，則P∈平面ABD，P∈平面BCD.∴P在兩平面的交線BD上．∴EH、FG、BD三線共點．考點3：異面直線的夾角－A1B1C1D1中，E為AB的中點．求BD1與CE所成角的余弦值．【解析】　連接AD1，A1D交點為M，連接ME，MC，則∠MEC(或其補角)即為異面直線BD1與CE所成的角，設(shè)AB＝1，CE＝，ME＝BD1＝，CM2＝CD2＋DM2＝.在△MEC中，cos∠MEC＝＝，因此異面直線BD1與CE所成角的余弦值為.，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的正切值是______．答案　－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為 (　　)A.　　　B. C. D.答案　C解析　連接BA1，則CD1∥BA1，于是∠A1BE就是異面直線BE與CD1所成的角(或補角)，設(shè)AB＝1，則BE＝，BA1＝，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，選C.－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________．【解析】　取A1B1的中點F，連接EF，F(xiàn)A，則有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直線AE與BC所成的角或其補角．設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2a，則有EF＝2a，AF＝＝a，AE＝＝△AEF中，cos∠AEF＝＝＝.因此，異面直線AE與BC所成的角的余弦值是.【答案】　考點4：直線與平面平行的判定與性質(zhì)．