列一元二次方程解應(yīng)用題經(jīng)典題型詳解(已修改)
2025-04-05 12:27 本頁(yè)面
【正文】 列一元二次方程解應(yīng)用題經(jīng)典題型剖析學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法以后，就會(huì)經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關(guān)的生活中的應(yīng)用問題，即列一元二次方程解應(yīng)用題，不少同學(xué)遇到這類問題總是左右為難，難以下筆，事實(shí)上，同學(xué)們只要能認(rèn)真地閱讀題目，分析題意，并能學(xué)會(huì)分解題目，各個(gè)擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時(shí)可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個(gè)或幾個(gè)相等的式子，從而列出方程求解，舉例說明.一、增長(zhǎng)率問題例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率.解 設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x.，則根據(jù)題意，得200(1－20%)(1+x)2＝，即(1+x)2＝，解這個(gè)方程，得x1＝，x2＝－（舍去）.答 這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%.說明 這是一道正增長(zhǎng)率問題，對(duì)于正的增長(zhǎng)率問題，在弄清楚增長(zhǎng)的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定價(jià)例2 益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（350－10a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解 根據(jù)題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解這個(gè)方程，得a1＝25，a2＝31.因?yàn)?1(1+20%)＝，所以a2=31不合題意，舍去.所以350－10a＝350－1025＝100（件）.答 需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說明 商品的定價(jià)問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點(diǎn).三、儲(chǔ)蓄問題例3 王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）解 設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則根據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+)＝，得90x2+145x－3＝0.解這個(gè)方程，得x1≈＝%，x2≈－，所以將x2≈－.答 %.說明 這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.四、趣味問題例4 一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？解 設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+)m，上口寬為(x++)m.則根據(jù)題意，得(x++x++)x＝，整理，得x2+－＝0.解這個(gè)方程，得x1＝－（舍去），x2＝1.所以x++＝1++＝.答 ，渠深1m.說明 求解本題開始時(shí)好象無從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五、古詩(shī)問題例5 讀詩(shī)詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解 設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.則根據(jù)題意，得x2＝10(x－3)+x，即x211x+30＝0，解這個(gè)方程，得x＝5或x＝6.當(dāng)x＝5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)x＝6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答 周瑜去世的年齡為36歲.說明 本題雖然是一道古詩(shī)問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味.六、象棋比賽例6 象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選 手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，.解 設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n－1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n(n－1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n(n－1)，所以全部選手得分總共為n(n－1)(n－1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，
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