【正文】 數(shù)量矩陣是對角矩陣的一種！A B相似，不管是不是實(shí)對稱矩陣一定是特征值一樣的！（反之？沒有實(shí)對稱這個前提對嗎？對比書上195頁例14）實(shí)對稱的更是的！而正負(fù)慣性指數(shù)前提是二次型函數(shù)的，所以一定要實(shí)對稱矩陣的！標(biāo)準(zhǔn)型不定，可以有很多種，但是不管化成哪種，慣性指數(shù)是一定的，一樣的！因此判斷兩個二次型能否相互化成關(guān)鍵是看慣性指數(shù)是否一樣！這個定理為什么成立？而慣性指數(shù)等同（相等）于一個對角矩陣的大于零的特征值！相似（對角矩陣就是相似引出的），合同，和可逆和有特征值的矩陣（可以證明的）二次型的矩陣，矩陣一定是方陣但是線性方程組的矩陣不一定的是。二次型（是指多元的，但是最低和最高次數(shù)只有二次的才行?。┑闹染褪侵高@個實(shí)對稱矩陣（說上為了方便要求這樣寫的，實(shí)際上對應(yīng)的和等于那個數(shù)就行）的秩！這個未知數(shù)的變量不能因為式子里面的沒有這個數(shù)就說把這個變量去掉，是不對的，即使線性變化，也還是個數(shù)一樣的！書上說的任何一個二次型的（當(dāng)然一般指那個實(shí)對稱矩陣，但是不是唯一指這個的）都可以通過可逆線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)型！題目中的正交變換，一般就是指正交線性變換！實(shí)對稱矩陣有個特性，就是存在一個見二次型第無講！實(shí)對稱矩陣才有慣性指數(shù)，因為慣性指數(shù)是來源于化簡二次型函數(shù)的，指出的！實(shí)對稱矩陣可以畫成規(guī)范型的，但是不是隨便一個規(guī)范型的就是他可以化的，這就要看大于零的個數(shù)，相當(dāng)于兩個二次型之間是否可以互相轉(zhuǎn)化！能互相轉(zhuǎn)化的是慣性指數(shù)一樣?。ㄒ簿褪且粋€實(shí)對稱矩陣和一個對角矩陣能夠合同的條件是正負(fù)慣性指數(shù)個數(shù)一樣，當(dāng)然不管這個對角矩陣的對角線上的數(shù)大小變化和順序變化了）（）思考方式是這個實(shí)對稱矩陣先變成一個對角矩陣，然后這個對角矩陣再和它對比，可以用書上的直接找到C的數(shù)值了，因為可以直接比如說用Y來代替多少的Z了！二個對角矩陣之間，對角線上的數(shù)字順序變了，則可以說是合同，但是也可以說是相似，（假如說大小不變，但是順序變了，則可以說是相似，根據(jù)視頻上說的AB相似的充要條件是特征值大小一樣，AB合同的充要條件是慣性指數(shù)個數(shù)一樣，是不是這個A和B都是實(shí)對矩陣這個前提下？？？？但是特征值一樣是性質(zhì)啊，可以作為充要條件嗎？？是對的，因為相似的條件條件和合同一樣都是存在一個可逆的矩陣的了，而對于二型的對角矩陣是可以直接找到一個可逆矩陣的，見課本的從標(biāo)準(zhǔn)型到規(guī)范型的例子。）因此，如果說一個二次型通過正交變換是成一個對角矩陣，則對角上的數(shù)字順序變化是沒有關(guān)系的，如變換后的是6Y21和6Y22一樣的！但是這個6不能變的！不能說變成5！鑒于上面的結(jié)論實(shí)對稱矩陣的代數(shù)余子式也是實(shí)對稱的！注意求和公式的寫法，對比書上！規(guī)范型一般說兩個是否相等，實(shí)際上等于說慣性指數(shù)是否相等，因為都化為對角矩陣后，經(jīng)過變化要求系數(shù)為一，實(shí)際上當(dāng)然慣性指數(shù)一樣可以說規(guī)范性相等了！特征值的問題要好好看看，為什么要特征值，對稱矩陣和各種特殊矩陣時，特征值有什么特點(diǎn)？前面視頻中，實(shí)對稱矩陣的對應(yīng)的可以變化成對角矩陣的那個正交矩陣，可以用特征值來找向量，如果其中某一個根沒有其他的和它相同的了，就直接找了，如果根有相同的，則可以找到，但是二次型的畫法:實(shí)對稱矩陣存在一個正交矩陣使實(shí)對稱矩陣和化后的對角矩陣相似且合同，但是他不一定正好是找到的正交矩陣，其他的也可以化，那只能是說合同了，特征值問題也無從考慮，但是，二者之間還有關(guān)系，那是二次型的實(shí)對稱矩陣和化后的對角矩陣 （不是說任何一個對角矩陣，而是這個對應(yīng)的化后的對角矩陣， 正負(fù)慣性指數(shù)個數(shù)一樣，當(dāng)然實(shí)對稱矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)（之所以給它叫這個名字，是因為人和一個實(shí)對稱矩陣有可以化成對角矩陣，而對角矩陣有正負(fù)慣性指數(shù)，所以它也叫有，當(dāng)然可以證明（見視頻）是等同于其特征值的正負(fù)個數(shù)的，）等同于其特征值正負(fù)個數(shù)。但是如果說通過正交變換的（就是這個C是個正交矩陣（那是因為二次型是一個對稱矩陣，對于任何一個實(shí)對稱矩陣都相似于自己對應(yīng)的一個對角矩陣，同時還存在一個正交矩陣使之能成為對角矩陣），任何一個正交矩陣都滿足自身的轉(zhuǎn)置等于自身的逆），則新的矩陣和二次型的實(shí)對稱矩陣是也相似且合同的！特征值也一樣。當(dāng)然這里也是說化成標(biāo)準(zhǔn)型的，如果化成規(guī)范型的就不一定是相似了（其中一個性質(zhì)是因為特征值變化了，如果只是數(shù)字順序變化是可以相似的，但是規(guī)范型要求的就是都是單位系數(shù)（見上面有個紅字的性質(zhì)）），但是也是合同的，那是因為從標(biāo)準(zhǔn)型化到規(guī)范性，也是利用合同的原則的，但是這個C就不一定是正交矩陣了，無法滿足C的轉(zhuǎn)置等同于C的逆，（而上述的相似和合同就是利用這一個原理證明出來的！）（如果說是正交變換，則即使化成了規(guī)范型的，也說明是乘以正交矩陣的，結(jié)果是巧合，當(dāng)然也滿足上面的結(jié)論）正交化后的對角矩陣（對角線上的順序可以變嗎？？？變得時候還是合同的，但是相似嗎？是的，見上面的紅字）大小變化就不是的了。變化后當(dāng)然也相似？但是對應(yīng)嗎？）和原來的實(shí)對稱矩陣是相似的，但是如果條件中要求的字母在對角線上，則可以利用（下面的定理） 利用其和一樣，如果不在，只有利用其行列式了！（見書上的定理）任何矩陣的行列式都等于特征值（不管其是實(shí)特征值還是虛的特征值）的乘積，（行列式可以大于零也可以小于零的，不是絕對值的?。蔷€上的和等于特征值的和。（并不是說一個對應(yīng)一個的，只是和一樣的，書上也有例子說明不對應(yīng)的，）（有一個情況是對應(yīng)的，就是下三角和上三角（也只是利用定義算的，但是順序當(dāng)然可以變了，同時說相似于另一個對角矩陣，當(dāng)然順序可以變的?。┘词箖蓚€行列式相似，能明顯看出來其特征值一樣，但是也不一定是按照順序?qū)?yīng)的?。▎枺杭尤胍粋€矩陣相似于另一個對角矩陣，那么吧對角線上的順序變換一下可以相似嗎？？可以的，根據(jù)特征值一樣就可以判定相似的，前提是實(shí)對稱矩陣，所以大小不變，改變順序是可以的！怎么找這個矩陣？？）（有時讓你求其方程的解，如何理解??？見視頻二次型第六講！）對于配方法：首先要保證變換后的變量是和原來的一樣的個數(shù)，如果思維過程中出現(xiàn)多了的，就想辦法表示出！而且并不是說每一個變量用新的變量表示時系數(shù)不能為零的！中間可以變換多次，不一定說立馬表示出來最終的平方的形式（中間可以形式不統(tǒng)一）！可以見視頻二次型第六講！配方法）但是最終要表示成和原來一樣的整體變量的個數(shù)個平方的代數(shù)和！而且如果經(jīng)過多次變換就要寫出來變換的變量之間的關(guān)系！具體方法：先進(jìn)行變量的整合，把第一個變量的平方，和相關(guān)的式子整合在一起，在使用平方，具體可以見配方法的例子！另外：如果沒有要求使用正交方法的時候，要求p的時候，可以用這個方法比較簡便！如果求的是矩陣，即使沒有涉及到方程的問題，如果是實(shí)對稱矩陣時，可以想著用二次型的思維來解決問題！正定問題：X可以取負(fù)數(shù)的！關(guān)于正定問題，滿足定義即可，相當(dāng)于從整體形式上來說都是平方，但是不是代表原始的就是對角矩陣了，只要能化成那種剩的都是平方即可，原理是不變的，根據(jù)慣性定理，慣性指數(shù)是決定于原函數(shù)的法則的，當(dāng)然也就一味著如果二次型的實(shí)對稱矩陣可以化成對角矩陣，而且這個對角矩陣的對角線上的值都是正數(shù)就可以了！當(dāng)然，要保證對角矩陣為正定矩陣就要保證都大于零。可逆對于合同問題，如果A是實(shí)對稱矩陣，則合同后的矩陣也是實(shí)對稱矩陣，可以證明的！而一般的，對于正定問題，一般前提是函數(shù)，當(dāng)然，前提是實(shí)對稱矩陣了，這個大的前提，而且這些證明都是基于此的?。ǘx是這樣定義的）而對于沒有說A是實(shí)對稱矩陣時，它合同于一個矩陣，則只有幾個小小的結(jié)論的！四個充要條件：，當(dāng)然標(biāo)準(zhǔn)型合同于規(guī)范型，同時因為是正定，所以要合同于一個標(biāo)準(zhǔn)的單位矩陣?。☉T性指數(shù)是基本中介），前面可以具體解釋，當(dāng)然特征值全為正數(shù)（充要條件）！或者說這個實(shí)對稱矩陣是行列式大于零的?。ㄐ辛惺绞谴笥诹愕牟皇瞧涑湟獥l件，因為有偶數(shù)個負(fù)特征值也保證了行列式為正，但是不一定每個都是正，），相當(dāng)于中間乘以一個實(shí)對稱矩陣E，了，所以這也是它的充要條件的！ ！用最后一個定理來證！5，關(guān)于直接用定義來思考，因為對于任何不等于零的式子結(jié)果都是正數(shù)，所以隨便取幾個數(shù)字是零，其他的不為零，這樣也會使結(jié)果是正數(shù)，所以這樣就形成了（或者可以這么想的）小一點(diǎn)的矩陣，他的行列式大于零，（因為行列式等于特征值的乘積，特征值要求都是大于零）同時可以解釋書上的順序主子式的定理了，同時因為這些自變量可以互換，所以這樣滿足是個基本的形式，不管怎么變化不脫離這個形式的！（這種定理非常適用）（當(dāng)然這首先要是實(shí)對稱矩陣的）―――――加入隨便給你一個實(shí)對稱矩陣是自己可以證明這種成立的，那么就是正定型了，想想它具備那些性質(zhì)，思考正定型矩陣的性質(zhì)：，2，這個矩陣可以和單位矩陣合同，（但是合同于單位矩陣，沒有說是相似于單位矩陣，所以特征值不一定都是一）3，這個矩陣特征值都是正數(shù)，行列式都大于零，4，這個矩陣可以寫成一個C乘C的轉(zhuǎn)置（C為可逆的N階矩陣）5，其可逆矩陣也是正定型！ （根本思維在于轉(zhuǎn)換成二次型函數(shù)思考）對于正定二次型的例9，老師說可以不考慮第二個式子，是因為X1X3可以相互調(diào)換，原理上沒有什么區(qū)別的，只是如果換成Y，Z等等的原理不是一樣的嗎！所以那個兩個字母C和兩個二調(diào)換且那個對角線的四和一對換，是可以的，但是這也說明了不是說主順序式不要求了，只要求一個了，加入有變量進(jìn)入的，換的時候也可能各個位置都有未知字母的了，同時，在判定一個實(shí)對稱矩陣是不是正定，這個矩陣是確定的，當(dāng)然每一個式子都要算的，當(dāng)然可以利用上面的原理換個位置，但是還是一樣啊，只是上面就要計算關(guān)于字母的了，所以沒有字母的就算了的?。ㄔ黾右稽c(diǎn)特征值的東西，正定型第六講例11，A+E的特征值就是A的特征值加上1，由定義可以得到?。嫌嘘P(guān)于一個矩陣的函數(shù)的特征值的計算的！161頁！當(dāng)然中間含有一個其他的矩陣是不行的！2. A的轉(zhuǎn)置和A一樣的特征值?。ǘx證明）（當(dāng)然涉及到特征值，A必然是方陣才行）3. 如果KA與A的特征值之間的關(guān)系？如果從矩陣的角度來看是沒有辦法證明的，但是這樣想，從行列式大小上變化，應(yīng)該是大小變化因該是K的N次方，根據(jù)定義，那么是否N個負(fù)數(shù)特征值上的每一個都是過大K倍？答案是正確的（從特征值的定義上看，或者從上面的矩陣多項式的特征值計算來看）正定型判定：，一般用特征值，這樣好計算！可以利用特征值的某些性質(zhì)來計算多項式的特征值，然后判定特征值都大于零就是的了！，在很抽象的時候，條件很少的時候，求不出特征值的時候，或者有秩的問題，出現(xiàn)秩＝＝＝矩陣的列時，利用線性方程組的條件的！有解還是無解！還可以倒退法！見二次型第六講例13。（當(dāng)）r(B)=n時，BX的大小問題（只有X=0才時BX=0也就是說，當(dāng)X不等于零時它是不等于零的），和BX＝0的條件問題（X＝0是它才等于零）（學(xué)會轉(zhuǎn)換思維）『從這兩屆題目可以看出基本思維都是一樣的，會反過來考的』例14也很好。這個結(jié)論和例13把不是方陣的東西結(jié)合在一起了，而且又是關(guān)于秩的問題，（這也是求秩的一種方法的?。˙不一定是方陣）BTB正定充要條件r(B)=n（不要和上面的正定可以等于一個可逆的轉(zhuǎn)置和其本身的乘積）.注意：CTAC不同于14題里的，這里C是可逆的（方陣）C：A正定B正定則A+B正定（用定義證）（在判定正定型時，首先判定是實(shí)對稱矩陣，如A乘A轉(zhuǎn)置，A對稱A*對稱，（如果可逆）A1也是對稱的。（因為其等于A*/detA），（A*）1（如果可逆）也對稱）求矩陣的行列式：對于多項式的，一種方法化乘最終一個的（如：求（3A）12A*的行列式）（用的一些方法：逆的性質(zhì)如：（AK）1=(A1）K，（KA）1=K1A1代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的行列式與原來矩陣的關(guān)系，），或者用特征值來求（利用相似的矩陣行列式一樣的）（用定義來定！)A的代數(shù)余子式和A的矩陣的行列式之間的關(guān)系，（特征值為行列式除原矩陣的每個特征值，（利用定義，利用逆的特征值））相似的性質(zhì)：特征值，行列式，秩都一樣，轉(zhuǎn)置也相似（定義可以證明），對角矩陣的性質(zhì)：可以和所有同價的矩陣可交換！關(guān)于例13的內(nèi)積問題有待探討??？？？關(guān)于分塊矩陣的問題：準(zhǔn)對角矩陣，它正定，則里面的小的對稱矩陣（？）也正定。還有這個分塊矩陣行列式的計算問題，見最后一個視頻的例子！看看最后一個題目是怎么回事！為什么？一般的自己理解怎么樣才能夠?qū)Π?？這個題目給我新的想法，正如我以前所想的，只要能化成平方的形式就可以了，這是不完全正確，關(guān)鍵就是這個能否等于零的問題。反推法可以看出標(biāo)準(zhǔn)型的要求只要變量不全為零就可以的，但是那個二次型一眼看不出啊，就像f(x1，x2，x3…xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(x3+a3x4)2+……+(xn1+anxn)2+(xn+b1x1)2 +(xn+b2x2)2+(xn+b2x3)2+……(xn+bnxn)2雖然說是都是平方相項，但是即使不等零，又可能出現(xiàn)這種情況，其他的平方項都為零，但是某一項不為零，但是也