【正文】 1 / 35第一章 行列式1．逆序數(shù) 定義n個(gè)互不相等的正整數(shù)任意一種排列為：i1i2in，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有一個(gè)逆序數(shù)，該排列全部逆序數(shù)的總合用t數(shù)字的個(gè)數(shù)之和。 性質(zhì)一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性，即 t2證明如下：設(shè)排列為a1Lalab1Lbmbc1L，作m次相鄰對(duì)換后，變成a1Lalabb1Lbmc1L，再作m+1次相鄰對(duì)換后，變成a1Lalbb1Lbmac1L，共經(jīng)過2m+1次相鄰對(duì)換，而對(duì)不同大小的兩元素每次相鄰對(duì)換逆序數(shù)要么增加1 ，要么減少1 ，相當(dāng)于t2故原命題成立。2．n階行列式的5大性質(zhì)性質(zhì)1：轉(zhuǎn)置（行與列順次互換）其值不變。性質(zhì)2：互換任意兩行（列）其值變號(hào)。性質(zhì)3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符號(hào)外。性質(zhì)4：任意行列式可按某行（列）分解為兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)5：把行列式某行（列）l倍后再加到另一行（列），其值不變。 行列式的五大性質(zhì)全部可通過其定義證明；而以后對(duì)行列式的運(yùn)算主要是利用這五個(gè)性質(zhì)。對(duì)性質(zhì)4的重要拓展：設(shè)n階同型矩陣，n(i1i2in)表示，t(i1i2in)等于它所有數(shù)字中后面小于前面=(1)t1。 =(1)t1，也就是排列必改變改變奇偶性，2m+1次相鄰對(duì)換后t2=(1)2m+1t1=(1)t1，A=(aij)。 B=(bij)222。A+B=(aij+bij)，而行列式只是就某一列分解，所以，A+B應(yīng)當(dāng)是2個(gè)行列式之和，即A+B185。A+B。韋達(dá)定理的一般形式為：nn1n2nan1an2nna+L+a0=0222。229。xi=。 229。xixj=。 213。xi=(1)0ananani=1i185。j=1i=1nanx+an1x+an2x 2012年6月14日星期四2 / 35一、行列式定義1．定義a11a21Lan1a12a22Lan2LLLLa1na2n=Lann229。(1)t(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn其中逆序數(shù)個(gè)數(shù). 后面的j1小的數(shù)的個(gè)數(shù) +j2后面比j2小的數(shù)的個(gè)數(shù)+L+jn1后面比jn1小的數(shù)的t(j1j2Lnj)=j12．三角形行列式a11 L0a12a22L0LLOLa1na11a2na=21LLannan10a22Lan2L0L0 =a11a2L2ann LLLann0 Lan1L0LNNLLann1a1na11a2na=21LLannan1a12a22N0La1nn(n1)N0t233。235。n(n1)L21249。=(1)a1na2n1Lan1=(1)2a1na2n1Lan1 LLL0二、行列式性質(zhì)和展開定理1．會(huì)熟練運(yùn)用行列式性質(zhì)，進(jìn)行行列式計(jì)算.2．展開定理ai1Ak1+ai2Ak2+L+ainAkn=dikA a1jA1k+a2jA2k++anjAnk=djkA三、重要公式設(shè)A是n階方陣，則1．2．3．AT=A 1A1=AA*=A 2012年6月14日星期四 n13 / 354．kA=knA5．AB=AB，其中B也是n階方陣6．設(shè)B為m階方陣，則AC0B=A0CB=AB0ACAmnBC=B0=(1)AB7．范德蒙行列式11L1x1x2Lxnx21x22Lx2n=(xixj)LLLL1163。213。ji163。nxn11xn1n12Lxn四．有關(guān)結(jié)論1．對(duì)于An180。n,Bn180。n (1)A=0A=0 (2) A=BA=B2. A為n階可逆矩陣行變219。A174。E219。A174。E（A與E等價(jià)）列變219。AX=0只有惟一零解219。AX=b有惟一解（克萊姆法則） 219。A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān) 219。A的n個(gè)特征值li185。0,i=1,2,L,n 219。A可寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積 219。r(AB)=r(B)219。ATA是正定矩陣2012年6月14日星期四4 / 35219。A是Rn中某兩組基之間的過渡矩陣3. A為n階不可逆矩陣A=0 219。AX=0有非零解 219。r(A)n 219。0是A的特征值 219。A=A，li(i=1,2Ln)為A的n個(gè)特征值，則A=213。lii=1n~B，則=B行列式的基本計(jì)算方法：1. 應(yīng)用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)行列式（例如化為三角形行列式就是一個(gè)常用方法）。2. 按行（列）展開行列式（在此基礎(chǔ)上，有些題可用數(shù)學(xué)歸納法、有些題可用遞推關(guān)系式來計(jì)算行列式）。在實(shí)際使用中，常常將上述兩種方法交替使用。行列式的計(jì)算是行列式的重點(diǎn)矩陣一 內(nèi)容概要1 矩陣的概念注意它和行列式的區(qū)別：1）表現(xiàn)形式上的差別；2）表現(xiàn)本質(zhì)上的差別，一個(gè)是數(shù)（行列式是數(shù)），而矩陣是一個(gè)符號(hào)；3）一般地當(dāng)A是一個(gè)方陣時(shí)候，2矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律（1）矩陣的相等；（2）矩陣的線性運(yùn)算： A才有意義，但是A185。A；此外當(dāng)A是長(zhǎng)方形矩陣時(shí)A沒有意義。 2012年6月14日星期四5 / 35a)矩陣的和：A+B 注意A和B要是階數(shù)一致的矩陣（或稱同型矩陣）；b)矩陣的數(shù)乘（或稱數(shù)乘矩陣） kA=k(aij)m180。n=(kaij)m180。n；c)一般地，若線性運(yùn)算； A1,A2,L,At是同型矩陣，則k1A1+k2A2+L+ktAt有意義，稱為矩陣A1,A2,L,At的一個(gè)3矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的行列互換，得到新的矩陣4 矩陣的乘法矩陣乘法的定義：AT或A162。，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置。 Am180。nBn180。s=(Cij)m180。s注意指出：在定義中，第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)，而cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj=(ai1ai2230。b1j246。231。247。231。b2j247。Lai4)231。247。 M231。247。231。b247。232。nj248。5 關(guān)于矩陣運(yùn)算的運(yùn)算律要注意的問題：1）一般地致；例如 AB185。BA其原因是a)AB與BA不一定同時(shí)有意義；b)即使AB與BA都有意義，AB與BA的階數(shù)也未必一A=(aij)3180。2,B=(bjt)2180。3，則AB與BA都有意義，但其階數(shù)不同；c)即使AB與BA其階數(shù)相同，但AB與BA也未必相同；如果AB=BA，則稱A與B是可以交換的。 例如230。11246。230。11246。231。247。247。A=231。,B=231。，則AB與BA都有意義，但是AB185。BA 247。231。247。232。11248。232。11248。2）矩陣的乘法不滿足消去律，即一般地若AB=AC,A185。0，推不出B=C，例如若AX=0,A185。0,推不出X=0T3）若(AB)=BTAT AB有意義，則3 幾種特殊類型的矩陣（1）0矩陣；（2）單位矩陣；（3）對(duì)角矩陣；數(shù)量矩陣；（4）三角矩陣；上三角、下三角矩陣；（5）對(duì)稱矩陣：若A=(aij)n180。n,aij=aji，即A=AT；（6）反對(duì)稱矩陣：若A=(aij)n180。n,aij=aji，即A=AT； 2012年6月14日星期四6 / 35關(guān)于反對(duì)稱矩陣常用的結(jié)論：1）A的主對(duì)角線上的元素全是0；2）若A是奇數(shù)階行列式，則A=0。(7)正交矩陣：若A滿足：AAT=ATA=E或AT=A1，則稱A是正交矩陣。關(guān)于正交矩陣與對(duì)稱矩陣的關(guān)系有：若A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣T使得：230。l1246。231。247。l2231。247。247。； TTAT=T1AT=231。O231。247。ln1231。247。231。ln247。232。248。（8）階梯形矩陣若A滿足：0行全在非0行的下方，非0行的第一個(gè)非0的數(shù)它的下面的數(shù)全是0（若有的話）；關(guān)于階梯形矩陣：任意一個(gè)矩陣A都可以通過初等變換化為階梯形矩陣；（9）分塊矩陣；對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆挚?，可以帶來很多方便，它有很多的?yīng)用；（10）初等矩陣：初等矩陣與矩陣的初等變換關(guān)系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分塊矩陣當(dāng)一個(gè)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，對(duì)此矩陣進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆謮K，更能容易看清其矩陣的規(guī)律和問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。矩陣分塊的原則：在同一行中，其各個(gè)塊矩陣的行數(shù)一致，在同一列中，其塊矩陣列數(shù)一致；分塊矩陣運(yùn)算的原則：（1）分塊矩陣的加法：若A+B,其對(duì)矩陣A,B的分塊方法完全一致；（2）分塊矩陣的乘法：若AB，其對(duì)第一個(gè)矩陣的列的分法同第二個(gè)矩陣行的分法完全一致。5初等矩陣、矩陣的初等變換、矩陣的等價(jià)（1）初等矩陣的定義：對(duì)單位矩陣進(jìn)行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣；用四階單位矩陣來說明初等矩陣的幾種形式。（2）初等變換初等行變換、初等列變換；（3）初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系對(duì)矩陣A做一次初等行變換成為B，則B=PA（其中P是與行變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣）舉例說明：230。122246。230。122246。231。247。r1180。(2)+r2231。247。A=231。231247。190。190。190。190。174。231。013247。=B231。131247。231。131247。232。248。232。248。 2012年6月14日星期四7 / 35230。122246。230。100246。230。122246。231。247。231。247。231。247。則B=PA即B=231。013247。=231。210247。231。231247。231。13231。247。231。247。1247。232。248。232。001248。232。131248。對(duì)于矩陣A作一次初等列變換成為B，則B=AP（其中P是與上述列變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣）。230。舉例說明A=231。122246。231。231247。230。102246。247。190。c190。1180。(190。2)+190。c2174。231。231。231。211247。247。=B232。131247。248。231。232。111247。248。230。B=231。102246。231。211247。230。247。=231。122246。230。120246。231。231247。247。231。231。010247。247。231。232。111247。248。231。232。131247。248。231。232。001247。248。(4)矩陣A與B等價(jià)如果A能夠通過初等變換變?yōu)锽則稱A與B等價(jià)，用式子表示就是：B=PtPt1LP1AQ1Q2LQs,其中Pi,Qj是初等矩陣每一個(gè)矩陣A都與矩陣231。230。E0231。r246。232。00247。247。等價(jià)，其中r是矩陣A的秩，即存在248。初等矩陣P230。Er0246。i,Qj使得：PtPt1LP1AQ1Q2LQs=231。231。232。00247。247。 248。6 關(guān)于n階矩陣的逆矩陣（1）逆矩陣的定義：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，若有n階方陣B使得AB=E或BA=E 則稱矩陣A是可逆的；( 2 )n階