【正文】 灰色系統(tǒng)理論與建模 一、灰色系統(tǒng)理論簡介 ? 1982年，北荷蘭出版公司出版的 《 系統(tǒng)與控制通訊 》 雜志刊載了我國學(xué)者鄧聚龍教授的第一篇灰色系統(tǒng)理論論文”灰色系統(tǒng)的控制問題”，同年， 《 華中工學(xué)院學(xué)報 》發(fā)表鄧聚龍教授的第一篇中文論文 《 灰色控制系統(tǒng) 》 ，這兩篇論文的發(fā)表標(biāo)志著灰色系統(tǒng)這一學(xué)科誕生。 ? 1985灰色系統(tǒng)研究會成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究發(fā)展迅速。 1989年海洋出版社出版英文版 《 灰色系統(tǒng)論文集 》 ，同年，英文版國際刊物 《 灰色系統(tǒng) 》 雜志正式創(chuàng)刊。目前，國際、國內(nèi) 300多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著 3000多次。灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。 參考書 鄧聚龍 . 灰色預(yù)測與灰決策 . 武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2022. 沈繼紅等 . 數(shù)學(xué)建模 . 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 1998. 二、幾種不確定方法的比較 概率統(tǒng)計，模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不確定系統(tǒng)研究方法。其研究對象都具有某種不確定性，是它們共同的特點。也正是研究對象在不確定性上的區(qū)別，才派生了這三種各具特色的不確定學(xué)科。 模糊數(shù)學(xué)著重研究“認識不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。比如“年輕人”內(nèi)涵明確，但要你劃定一個確定的范圍，在這個范圍內(nèi)是年輕人，范圍外不是年輕人，則很難辦到了。 概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定”現(xiàn)象，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果的“隨機不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。其出發(fā)點是大樣本，并服從某種典型分布。 灰色系統(tǒng)理論著重研究概率統(tǒng)計，模糊數(shù)學(xué)難以解決的“小樣本，貧信息”不確定性問題，著重研究 “外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象。例如到 2050年，中國要將總?cè)丝诳刂圃?5億到 16億之間，這“ 15億到 16億之間“是一個灰色概念，其外延很清楚，但要知道具體數(shù)值，則不清楚 。 灰色系統(tǒng)理論認為微分方程能較準(zhǔn)確地的反應(yīng)事件的客觀規(guī)律，即對于時間 t的狀態(tài)變量，通過方程能夠基本反應(yīng)事件的變化規(guī)律。 1 灰色預(yù)測的概念 灰色預(yù)測法是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預(yù)測的方法 .灰色系統(tǒng)是介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間的一種系統(tǒng) . 三、灰色系統(tǒng)預(yù)測模型 白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)信息是完全充分的 .而黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯(lián)系來加以觀察研究 .灰色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素具有不確定的關(guān)系 . 2 灰色預(yù)測的類型 （ 1）灰色時間序列預(yù)測：即用觀察到的反映預(yù)測對象 特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型 (GM(1,1)模型 )，預(yù) 測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間 . （ 2）畸變預(yù)測 （ 3）系統(tǒng)預(yù)測 （ 4）拓撲預(yù)測 灰色預(yù)測方法的特點表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù) 據(jù)視為連續(xù)變量在其過程中所取的離散值，從而可利 用微分方程處理數(shù)據(jù)；不是直接使用原始數(shù)據(jù)而是由 它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對生成序列使用微分方程模型。 這樣，可以抵消大部分隨機誤差，顯示出規(guī)律性。 序號 1 2 3 4 符號 數(shù)據(jù) 1 2 4 (0)(4)x(0)(3)x(0)(1)x (0)(2)x將上表數(shù)據(jù)作圖得 0123451 2 3 4XY( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )4 ( ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) )x x x x?例如考慮 個數(shù)據(jù)，記為序列X ，其數(shù)據(jù)見下表：( 0 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ,( ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) ) .X k x kX x x x x?將序列 作累加生成，記第 個累加生成為 記( 1 ) ( 0 )(1 ) (1 ) 1 。xx ??( 1 ) ( 0 ) ( 0 )( 2 ) (1 ) ( 2 ) 1 2 3 。x x x? ? ? ? ?( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 2 1 . 5 4 . 5 。( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1 2 1 . 5 3 7 . 5 .x x x xx x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?得 到 數(shù) 據(jù) 如 下 表 所 示序號 1 2 3 4 符號 數(shù)據(jù) 1 3 (1)(1)x (1)(2)x (1)(3)x (1)(4)x0123456781 2 3 4XY( 1 )上 圖 表 明 生 成 數(shù) 列 X 是 單 調(diào) 遞 增 數(shù) 列 .四 基本概念 1. 灰色序列生成算子 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )1( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )( ( 1 ) , ( 2 ) , , ( ) ) , 1 A G O( ( 1 ) , ( 2 ) , , ( ) ) , ( ) ( ) ,1 , 2 , , . 1 A G O D = D1 A G O .kiX x x x nX x x x n x k x ik n X X X X??????設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為 經(jīng) 作用，可生成數(shù)據(jù)序列 其中若記 算子為 ，則 ， 稱為 的序列(1)一階累加生成算子 (1AGO算子 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 1 )( ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) ) =( 1 , 3 , 2 , 5 , 3 . 5 ) , .X x x x x xXX?例1 設(shè)原始序列為求 的一階累加生成序列( 1 ) ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 )(1 ) (1 ) 1 。( 2 ) (1 ) ( 2 ) 1 3 4 。xxx x x??? ? ? ? ?解( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )5( 1 ) ( 0 )1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 3 ) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) 1 3 2 6 。( 4) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4) 1 3 2 5 11 。( 5 ) ( ) 1 3 2 5 .X = ( ( 1 ) , ( 2) , ( 3 ) , ( 4) , ( 5 ) ) = ( 1,4,6,11,) .kx x x xx x x x xx x kx x x x x?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??因此, (2)一階累減生成算子 (1IAGO算子 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )( 0 )( 1 ) ( 0 )( ( 1 ) , ( 2) , , ( ) ) ,( ) ( ) ( 1 ) , 2 , ,.X x x x nx k x k x k k nXX????? ? ? ?設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為稱為一階累減算子(1IAGO算子)，序列 的一階累減生成簡記為( 1 ) ( 0 )X = ( 1 , 4 , 6 , 1 1 , 1 4 . 5 ) X = ( 1 , 3 , 2 , 5 , 3 . 5 ) .顯然，的一階累減生成序列為(3) 始點零化算子 11111( ( 1 ) , ( 2) , , ( ) ) , ,( ) = ( ) ( 1 ) , 1 , 2 , , ,X x x x n X D Xx k x k x k n DXX????設(shè)序列 令 其中則稱 為始點零化算子,稱為 的始點零化像.1( ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) ) =(0 , 2 , 4 , 6 ) .X x x x xX??例 設(shè) （ 1,3,5,7 ） , 則 X 的 始 點 零 化 像為? ?4 鄰值均值生成序列( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )X = ( ( ( 1 ) , ( 2) , , ( 1 ) , ( ) , , ( ) ) ,( 1 ) , ( ) X ( 1 ) ( )x x x k x k x nx k x k x k x k???（1）(1)設(shè)序列則稱 為序列 的鄰值, 為后鄰值，為前鄰值.? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?( 1 ) ( 1 )1 1 1 1( 1 )=( ) 0 . 5 ( ) 0 . 5 ( 1 ) , 2 , 3 , ,2 , 3 , ,k x k x k k nZ z z z nX?? ? ? ??(1)特別地, 當(dāng)生成數(shù) 0 . 5 時, 則z所得的序列 ，則稱該序列為 鄰值均值生成序列。( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) , 2 , 3 , ,( ( 2) , ( 3 ) , , ( ) )k x k x k k nn?