【正文】 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 第 十三 講 反比例函數(shù) 課程目標(biāo) ⑴ 理解反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式。 ⑵ 樹立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能完成解析式和圖像位置、性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)化。 ⑶ 綜合運用多種數(shù)學(xué)思想，逐步形成數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模的意識。 課程重點 ⑴ 掌握 反比例函數(shù)的概念 及性質(zhì)，確定反比例函數(shù)的解析式。 ⑵ 理解函數(shù)圖像的含義，學(xué)習(xí)從圖像中獲取信息解決問題的能力。 ⑶ 能運用反比例函數(shù)的知識，解決實際應(yīng)用的問題。 課程難點 ⑴ 掌握反比例函數(shù)圖像的幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 ⑵ 運用類比和轉(zhuǎn)化思想，解決實際問題及代 幾綜合題。 教學(xué)方法建議 反比例函數(shù)是八年級下的內(nèi)容，經(jīng)常與一次函數(shù)結(jié)合考查，也是中考出題的熱點篇章。本身蘊含諸多數(shù)學(xué)思想：方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想等等。本講中的每道例題及搭配課堂訓(xùn)練題都是一個考點的小專題。限于課堂容量，部分簡單及非典型題將在課后作業(yè)中出現(xiàn)，建議教師根據(jù)學(xué)生情況選擇性講授作為補充。 選材程度及數(shù)量 課堂精講例題 搭配課堂訓(xùn)練題 課后作業(yè) A 類 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 10 ）道 B 類 （ 3 ）道 （ 2 ）道 （ 10 ）道 C 類 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 10 ）道 第一部分 知識梳理 一、反比例函數(shù)的 解析式 1．反比例函數(shù)的概念 一般地，函數(shù) xky? （ k 是常數(shù)， k? 0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成 1??kxy 的形式。自變量 x 的取值范圍是 x? 0 的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。 2．反比例函數(shù)解析式的確定 由于在反比例函數(shù) xky? 中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 一個點的坐標(biāo)，即可求出 k 的值，從而確定其解析式。 二 、反比例函數(shù) 的圖像及性質(zhì) 1．反比例函數(shù)的圖象 反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，有兩個分支，這兩個分支分別位于第 一、三 象限，或第二、四 象限，它們關(guān)于 原點 對稱。由于反比例函數(shù)中自變量 x? 0，函數(shù) y? 0，所以，它的圖象與 x 軸、 y 軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸。 2． 反比例函數(shù)的性質(zhì) 反比例函數(shù) )0( ?? kxky k 的符號 k0 k0 圖像 y O x y O x 性質(zhì) ① x 的取值范圍是 x? 0， y 的取值范圍是 y? 0； ②當(dāng) k0 時，函 數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小。 ① x 的取值范圍是 x? 0， y 的取值范圍是 y? 0； ②當(dāng) k0 時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)， y隨 x 的增大而增大。 對稱性 ① )0( ?? kxky 的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為 )0( ＞kxy ?? 或 )0( ＜kxy? ② )0( ?? kxky 的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點 （ 0， 0） ； ③ xkyxky ??? 和 (k≠ 0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于 x 軸對稱， 也關(guān)于 y 軸對稱 ． 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 3．反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義 ① 過雙曲線xky?(k≠ 0) 上任意一點 作 x 軸、 y 軸 的 垂線 段 ， 所得矩形 (如圖 )面積為 k 。 ② 過雙曲線xky?(k≠ 0) 上任意一點 作任一坐標(biāo)軸的 垂線 段 ，連接該點和原點， 所得 三角 形（如圖）的 面積為2k． ③ 雙曲線xky?(k≠ 0) 同一支 上任意 兩 點 1P 、 2P 與原點組成的 三角形（如圖）的面積=直角梯形 1221PP 的面積 ． 第二部分 例題與解題思路方法歸納 【例題 1】 已知函數(shù) ? ? 521 ??? mxmy 是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則 m 的值是（ ） A． 2 B．﹣ 2 C． 177。2 D． 21? 〖難度分級〗 A 類 〖試題來源〗 2020 年涼山州中考數(shù)學(xué)試題 〖選題意圖〗 對于反比例函數(shù) )0( ?? kxky 。由于 11 ??xx ，所以反比例函數(shù)也可以寫成1??xy （ k 是常數(shù)， k≠ 0）的形式，有時也以 xy=k（ k 是常數(shù)， k≠ 0）的形式出現(xiàn)。 （ 1） k＞ 0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（ 2） k＜ 0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)． 本題需要 理解好反比例函數(shù)定義中的系數(shù)和指數(shù)，同時需要掌握 反比例函數(shù)的性質(zhì) ，這樣才能防止漏解或多解。 〖解題思路〗 根據(jù)反比例函數(shù)的定義 m2﹣ 5=﹣ 1，又圖象在第二、四象限，所以 m+1＜ 0，兩式聯(lián)立方程組求解即可． yxOQCBAP 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 〖參考答案〗 解： ∵ 函數(shù) ? ? 521 ??? mxmy 是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)， ∴??? ? ??? 01 152 ＜mm ， 解得 m=177。2 且 m＜﹣ 1， ∴ m=﹣ 2．故選 B． 【課堂訓(xùn)練題】 1． （ 2020?甘肅）已知 y=y1+y2， y1 與 x 成正比例， y2 與 x﹣ 2 成反比例，且當(dāng) x=1 時， y=﹣ 1；當(dāng) x=3 時， y=5．求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式． 〖難度分級〗 A 類 〖參考答案〗 解：設(shè) y1=k1x（ k1≠0）， y2=錯誤 !未找到引用源。 ∴ y=k1x+錯誤 !未找到引用源。 ∵ 當(dāng) x=1 時， y=﹣ 1；當(dāng) x=3 時， y=5， ∴??? ?? ??? 53 12121 kk kk ，∴ ??? ??2121kk 。 ∴22??? xxy。 2．定義：已知反比例函數(shù) xky 1? 與 xky 2? ，如 果存在函數(shù) xkky 21? （ k1k2＞ 0）則稱函數(shù)xkky 21? 為這兩個函數(shù)的中和函數(shù) 。 （ 1）試寫出一對函數(shù)，使得它的中和函數(shù)為 xy 2? ，并且其中一個函數(shù)滿足：當(dāng) x＜ 0 時，y 隨 x 的增大而增大 。 （ 2）函數(shù) xy 3?? 和 xy 12?? 的中和函數(shù) xky? 的圖象和函數(shù) y=2x 的圖象相交于兩點，試求當(dāng) xky? 的函數(shù)值大于 y=2x 的函數(shù)值時 x 的取值范圍 。 〖難度分級〗 B 類 〖參考答案〗 解：（ 1） ∵ 試寫出一對函數(shù)，使得它的中和函數(shù)為 錯誤 !未找到引用源。 ， 并且其中一個函數(shù)滿足：當(dāng) x＜ 0 時， y 隨 x 的增大而增大． ∴ 答案不唯一， 如 錯誤 !未找到引用源。 與 錯誤 !未找到引用源。 等； y= x3? （ 2） ∵ 錯誤 !未找到引用源。 和 錯誤 !未找到引用源。 的中和函數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 ， 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 聯(lián)立方程組???????xy xy26 ， 解之得兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（ 3 ， 32 ）（ 3? ， 32? ），結(jié)合圖象得到當(dāng)xky?的函數(shù)值大于 y=2x 的函數(shù)值時 x 的取值范圍是 3?＜x 或 30 ＜＜ x ． 【 例題 2】 如圖所示是反比例函數(shù)xny 42 ??的圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題： （ 1）圖象的另一支在哪個象限？常數(shù) n 的取值范圍是什么？ （ 2）若函數(shù)圖象經(jīng)過點（ 3， 1），求 n 的值； （ 3）在這個函數(shù)圖象的某一支上任取點 A（ a1， b1）和點 B（ a2， b2），如果 a1＜ a2，試比較 b1 和 b2 的大?。? 〖難度分級〗 B 類 〖試題來 源〗 2020 年 肇慶 市中考數(shù)學(xué)試題 〖選題意圖〗 本題主要考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，需要熟練掌握． 〖解題思路〗 （ 1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，這一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限； （ 2）把點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出 n 值，即可求出函數(shù)解析式； （ 3）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，當(dāng) k＞ 0 時，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值 y 隨 x 增大而減小 。 〖參考答案〗 解：（ 1）圖象的另一支在第三象限．由圖象可知， 2n﹣ 4＞ 0，解得： n＞ 2 （ 2）將點（ 3， 1）代入 xny 42 ?? 得： 3 421 ?? n ，解得： n=錯誤 !未找到引用源。 ； （ 3） ∵ 2n﹣ 4＞ 0， ∴ 在這個函數(shù)圖象的任一支上， y 隨 x 增大而減小， ∴ 當(dāng) a1＜ a2 時， b1＞ b2． 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) 【課堂訓(xùn)練題】 1． 如圖是反比例函數(shù)xmy 5??的圖象的一支． （ 1）求 m 的取值范圍，并在圖中畫出另一支的圖象； （ 2）若 m=﹣ 1， P（ a， 3）是雙曲線上點， PH⊥ y 軸于 H，將線段 OP 向右平移 3PH 的長度至 O′P′，此時 P 的對應(yīng)點 P′恰好在另一條雙曲線xky?的圖象上，則平移中線段 OP 掃過的面積為 ， k= ．（直接填寫答案） 〖難度分級〗 B 類 〖參考答案〗 解：（ 1）由反比例函數(shù)的圖象可知 m﹣ 5＜ 0，即 m＜ 5． （ 2） ∵ m=﹣ 1， ∴ 反比例函數(shù)xmy 5??的解析式為xy 6??， 把 P（ a， 3）代入上式得 a=﹣ 2． 向右平移 3PH，可得 P′坐標(biāo)為（ 4， 3），第一象限內(nèi)拋物線解析式為 xy 12? ． S?oo39。p′ p =S?A′PP′A=23+43=18． 則平移中線段 OP 掃過的面積為 18， k=12． 2． （ 2020?臨沂） 我們學(xué)過二次函數(shù)的圖象的平移，如：將二次函數(shù) 23yx? 的圖象向左平移 2 個單位，再向下平移 4 個單位，所圖象的函數(shù)表達式是 23( 2) 4yx? ? ?。 類比二次函數(shù)的圖象的平移，我們對反比例函數(shù)的圖象作類似的變換： 杭州中考網(wǎng) 杭州中考網(wǎng) （ 1）將 y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象向右平移 1 個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為 ，再向上平移 1 個單位，所得圖象 的函數(shù)表達式為 ； （ 2）函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由 y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象向 平移 個單位得到； y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由哪個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到； （ 3）一般地，函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。 （ ab≠0，且 a≠b）的圖象可由哪個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？ 〖難度分級〗 B 類 〖參考答案〗 解：（ 1）可設(shè)新反比例函數(shù)的解析式為 y=錯誤 !未找到引用源。 ，可從原反比例函數(shù)找一點 （ 1， 1），向右平移 1 個單位 得（ 2， 1），代入解析式可得： a=﹣ 1．故所得圖象的函數(shù)表達式為 錯誤 !未找到引用源。 ； 再向上平移 1 個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為 錯誤 !未找到引用源。 ． （ 2）先把函數(shù)化為標(biāo)準反比例的形式 y=錯誤 !未找到引用源。 +1，然后即可根據(jù)反比例函數(shù)圖象平移的性質(zhì)解答： y=錯誤 !未找到引用源。 可轉(zhuǎn)化為 錯誤 !未找到引用源。 ． 故函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由 y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象向上移 1 個單位得到； y=錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由反比例函數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 的圖象先向右平移 2 個單位，再向上平移 1 個單位得到． （ 3）函數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 （ ab≠0，且 a≠b）可轉(zhuǎn)化為 錯誤 !未找到 引用源。 ． 當(dāng) a＞ 0 時， 錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由反比例函數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 的圖象向左平移 a 個單位，再向上平移 1 個單位得到； 當(dāng) a＜ 0 時， 錯誤 !未找到引用源。 的圖象可由反比例函數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 的圖象向右平移﹣ a 個單位，再向上平移 1 個單位得到． 【例題 3】 在反比例函數(shù) xky? 的圖象的每一條曲線 上， y 都隨 x 的增大而減?。? （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）在曲線上取一點 A，分別