【正文】 1 第四章 根軌跡法 主要內(nèi)容： 1）根軌跡的概念 2）繪制根軌跡的基本條件 3）根軌跡的繪制規(guī)則 (180度根軌跡 ) 4) 廣義根軌跡 (0度、參變量根軌跡 ) 2 41 根軌跡 . 根軌跡的基本概念 反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳函。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)的響應(yīng)就迎刃而解。但是對于 3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個可變參數(shù)時，求根更困難了。 1948年，伊凡思 (W. R. Evans) 提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法 —— 根軌跡法。在已知開環(huán)零極點分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時確定閉環(huán)極點的一種簡單的圖解方法。 要想了解根軌跡，先看一個具體的實例： 3 式中， K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： KssKs222)(2 ????? ? )2()2( 2)( ?????? ss Kss Kss KsG g 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析 0 K ? ，閉環(huán)特征根在s平面上的移動路徑及其特征。 K s(+1) ﹣ + R(s) C(s) 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 4 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 ： s2 + 2s + 2K = 0 用解析法求得系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根為： Ks 2112,1 ????(1) K= 0: s1 = 0, s2 = ?2, 是根跡的起點，用“ ?”表示。 ?2 j? ? 0 ?1 (2) 0 K ： s1 ， s2 均是負實數(shù)。 K? ?s1? ， s2 ?。 s1從坐標原點開始沿負實軸向左移動； s2從（ ?2， j0）點開始沿負實軸向右移動。 (3) K= ： s1 = s2 = ?1，重根。 閉環(huán)特征根 s1， s2 隨著 K值得改變而變化。 (4) K ： 1212,1 ???? KjsK= 0 K= 0 K= K?? K?? 5 6 二階系統(tǒng)有兩個特征根，它的軌跡有兩條分支。因此： （ 1） n階系統(tǒng)有 n條分支 ； （ 2）每條分支的起點 (K= 0)位于開環(huán)極點處； （ 3）各分支的終點 (K??)或為開環(huán)零點處或為無限遠處點； （ 4） (?1， j0)點有重根，稱為分離點。 根軌跡的定義： 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從 0??連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在 s 平面上移動的軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)作為可變參數(shù)。 7 1. 穩(wěn)定性 當(dāng) K從 0 ??時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入 s右半平面，因此，二階系統(tǒng)對所有的 K值都是穩(wěn)定的。 根軌跡與系統(tǒng)性能 ?2 j? ? 0 ?1 K= 0 K= 0 K= K?? K?? 8 如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進入 s 右半平面，此時根跡與虛軸交點處的 K 值，就是臨界開環(huán)增益。 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)屬于 1 型系統(tǒng)，因而根軌跡上的 K 值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù) Kv。如果給定系統(tǒng) ess 的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。 當(dāng) K Kg* 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 ? 0 j? Kg ?? Kg ?? Kg ?? Kg* 9 3. 動態(tài)性能 由圖可見，當(dāng) 0 K ，閉環(huán)極點均位于負實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。 當(dāng) K = ，閉環(huán)兩個實極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。 ?2 j? ? 0 ?1 K= 0 K= 0 K= K?? K?? 當(dāng) K ，閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。 K? ? ? ? ? ?p%? ， 但是 ts不會顯著變化。 332s nt k?? ???10 根軌跡方程 研究下圖所示負反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs????系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) R(s) C(s) ﹣ + H(s) 該系統(tǒng)的特征方程為 : D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = ?1 上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。 11 ????????njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)寫成如下形式 式中， Kg為系統(tǒng)的根跡增益， zi 為系統(tǒng)的開環(huán)零點， pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點。此時稱為常規(guī)（ 180 ? ）根軌跡，根軌跡方程又可寫為： gnjjmiiKpszs1)()(11 ????????12 根軌跡的相角方程： ?)12()()(11??????? ????kpszsnjjmii式中， k=0， 177。 1， 177。 2， … （全部整數(shù)）。 根據(jù)這兩個條件，可完全確定 s平面上根軌跡及根軌跡上對應(yīng)的 Kg值。 相角條件 是確定 s平面上根軌跡的充要條件 ，這就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點的 Kg值時，才使用幅值條件。 gnjjmiiKpszs111 ???????根軌跡的幅值方程： 13 下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和相角條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。 已知開環(huán)零極點分布如圖示。 p2 p3 j? ? 0 p1 z1 s1 ?1 ?1 ?2 ?3 在 s平面找一點 s1 ，畫出各開環(huán)零、極點到s1點的向量。 檢驗 s1是否滿足相角條件： ?(s1 ? z1) ?[?(s1 ? p1) + ?(s1 ? p2) + ?(s1 ? p3)] = ?1 ? ?1 ? ?2 ? ?3 = (2k+1)? ？？ 如果 s1點滿足相角條件，則是根軌跡上的一點。 尋找 14 在 s 平面內(nèi)滿足相角條件的所有 s1 點，將這些點連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在 1948年，伊凡思提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根跡，在概略根跡的基礎(chǔ)上，必要時可用相角條件使其精確化，從而使整個根跡的繪制過程大為簡化。 1 13sj? ? ? 1 3 1 例：已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布如圖所示： 判斷 是否是根軌跡上的點？ 求使閉環(huán)極點為 2的 Kg的值，并求另一閉環(huán)極 點？ 15 42 繪制根軌跡的基本法則 繪制 180186。根軌跡的基本法則 法則 1 根軌跡的起點 (Kg= 0)和終點 (Kg??) ：根軌跡起始于開環(huán)極點， 終止于開環(huán)零點。 證明： ????????njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(1 1????? ?? ?njmiigj zsKps1 + G(s)H(s) = 0 16 當(dāng) Kg= 0 時，有 s = pj ( j =1, 2, … , n) 上式說明 Kg= 0時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。 將特征方程改寫為： 當(dāng) Kg?? 時，有 s = zi ( i =1, 2, … , m) 所以根軌跡必終于開環(huán)零點。 在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中 m ? n ，有 m 條根軌跡終點為開環(huán)零點處，有 n?m條根軌跡的終點將在無窮遠處。 0)()(11 1????? ?