【正文】 ? ?njmiijgzspsK17 如果把有限數(shù)值的零點稱為有限零點，而把無窮遠(yuǎn)處的零點稱為無限零點，那么根軌跡必終于開環(huán)零點。 [證畢 ] 法則 2 根軌跡的分支數(shù)和對稱性 ：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù) m 和有限極點數(shù) n 中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對稱于實軸。 證明： 1 + G(s)H(s) = 0 ???????????????mnsmiinjjsgszspsK l i m)()(l i m110)()(1 1????? ?? ?njmiigj zsKps18 特征方程式的階數(shù) = max{n， m } 特征根的個數(shù) = 方程的階數(shù) = 根軌跡的分支數(shù) = max{n， m } 由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根跡增益的函數(shù)，所以當(dāng) Kg 從 0 ??連續(xù)變化時，特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。 因為閉環(huán)傳函為有理分式，所以閉環(huán)特征方程的根只有實根和復(fù)根兩種，實根本身位于實軸上，復(fù)根必成對共軛出現(xiàn)，而根軌跡是根的集合，所以必然對稱于實軸。 [證畢 ] 19 j? ? 0 K= 0 K= 0 K?? K?? ? 0 j? ? 0 j? Kg ?? Kg ?? Kg ?? 20 ? 0 j? ? 0 j? 1 2 j1 21 法則 3 根軌跡的漸近線 ：當(dāng)開環(huán)傳函中 m n 時，有 n ? m 條根軌跡分支沿著與實軸交角為 ?a ，交點為 ?a 的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有： mnzpmiinjja ??????? 11?mnka ??? ?? )12( (k = 0,1, … , n ?m ? 1) 證明：假設(shè)在 ?有特征根 sk，則 s平面上有開環(huán)有限零點 zi 和極點 pj 到 sk 的矢量幅角相等，即 ?(sk ? zi) = ?(sk ? pj) = ?a 代入相角條件 22 考慮到 s平面上所有開環(huán)有限零點 zi 和極點 pj 到無窮遠(yuǎn)處特征根 sk 的矢量長度都相等。于是，對于 sk 而言，所有開環(huán)零點、極點都匯集在一起，其位置為實軸上一點 ?a ，得到 zi = pj = ?a ??? )12()()(11????????? ????knmpszs aanjjkmiikgnjnjjnjnmimiimimnjjmiiKpspszszspszs1)()()()(1 111 1111??????????????? ?? ???? ??? ??????mnka ??? ?? )12( (k = 0,1, … , n ?m ? 1) 23 即 [證畢 ] ????????????????? ?? ???. ..)()(1)(11 1minjjimnmnapzss ?令上式中 s n?m?1項的系數(shù)相等，即 (n?m) ?a = ? pj ? ?zi mnzpmiinjja ??????? 11?24 法則 4 實軸上的根軌跡 ：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 證明：設(shè)零、極點分 布如圖示 p2 p3 j? ? 0 p1 z1 s1 ?1 ?1 =0 ?2 ?3 在實軸上取一測試點 s1 。 由圖可見，復(fù)數(shù)共軛極點到實軸 s1 點的向量相角和為 2?，復(fù)數(shù)共軛零點如此。因此在確定實軸上的根軌跡時，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點的影響。 25 s1 點左邊開環(huán)實數(shù)零、極點到 s1 點的向量相角為零。而 s1 點右邊開環(huán)實數(shù)零、極點到 s1 點的向量相角為 ?或 ? 。 如果 s1 是根軌跡，則應(yīng)滿足相角條件： ??j ? ??i = (2k + 1)? m ? ? ? n? (??) = (2k +1)? m + n = 2k + 1 即 s1 右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)。 [證畢 ] 26 例 41 設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點和終點、漸近線及根軌跡在實軸上的分布。 )5)(1()()( ??? sssKsHsG g 解：開環(huán)極點 p1= 0、 p2= ? p3= ?5。 系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個有限的開環(huán)極點，當(dāng) Kg ??時，沿著三條漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處；三條 漸近線 在實軸上 的 交點 20351011?????????????mnzpmiinjja?27 ? 0 j? ? ?210 35 3 312，， ????kka????? 實軸上的根軌跡分布在 (0， ?1)和(?5， ? ?)的實軸段上。 60? )5)(1()()( ??? sssKsHsG g28 ???? ???nj jmi i pdzd 1111式中， z i 、 p j 是系統(tǒng)的有限開環(huán)零點和開環(huán)極點。 特性： 1）分離點是系統(tǒng)閉環(huán)重根。 2） 由于 根軌跡是對稱的，所以分離點或位于實軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上。 3）位于兩實數(shù)開環(huán)零（極）點之間若有根軌跡，則必有一個分離點。 法則 5 根軌跡分離點（會合點） ：兩條或兩條以上的根軌跡在 s平面上相遇后立即分開的點，稱為根軌跡的分離點 (會合點 )。 分離點的坐標(biāo) d 是下列方程的解 ( 2 1 )dkl?? ??分 離 角 ：29 4）在一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間若有根軌跡，或無分離點或多個分離點。 j? ? 0 證明：根軌跡在 s 平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè) s = d 處為分離點，重根數(shù)為 l 。 0)()(1 1????? ?? ?njmiigj zsKps0)()(1 1????? ?? ?njmiigj zsdsdKpsdsd30 [證畢 ] ?????????????miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmiinjj ???????11)(ln)(ln11l n ( ) l n ( )nm j ijid s p d s zd s d s??? ???????? ???nj jmi i pszs 1111VVV ???)(l n31 例 42 求例 41系統(tǒng)根軌跡的分離點。