重積分--華南理工大學(xué)高數(shù)課件模版(已修改)
2025-01-30 20:32 本頁面
【正文】 三重積分的 概念 三重積分的計(jì)算 3 三重積分的概念與計(jì)算 是空間有界閉區(qū)域 Ω上的 如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值 在每個 iv?),( iii ???),2,1(),( nivf iiii ??????.),(1iniiii vf ?????? 1. 三重積分的定義 nvvv ??? ?, 21將閉區(qū)域 Ω任意分成 n個小閉區(qū)域 其中 iv?并作和 作乘積 ① ② ③ ④ ),( zyxf設(shè) 有界函數(shù) . 也表示它的體積 . 表示第 i個小閉區(qū)域 , 上任取一點(diǎn) 一、三重積分的概念 記為 函數(shù) ),( zyxf趨于零時這和的極限總存在 , iiinii vf ?? ???),(lim10????則稱此極限為 ?在閉區(qū)域 Ω上的三重積分 . ???Ωvzyxf d),(即 ???Ωvzyxf d),(體積元素 ( , , ) ) 0 ( , , )( , , ) .f x y z f x y z d vf x y z?? ???當(dāng) 時， 的物理意義表示以 為體面密度的非均勻立體的質(zhì)量zyxv dddd ?二、三重積分的計(jì)算 1. 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分 直角坐標(biāo)系下 的體積元素為 在直角坐標(biāo)系下 三重積分可表為 ?????vzyxf d),( ????zyxzyxf ddd),(三重積分 ),(: 11 yxzzS ?Dyx ?),(,1 穿入從 z 投影法 ),(: 22 yxzzS ?如圖 , 閉區(qū)域 ? xOy在面上的投影為閉區(qū)域 D, 過點(diǎn) 作直線 , 穿出．從 2zxyzO?Dab)(1 xyy?)(2 xyy ?1S),(1 yxzz ?2S),(2 yxzz ?),( yx1z2z?? ),( ),(21 d),(),( yxz yxz zzyxfyxF]d),([ ),( ),(21?yxzyxz zzyxf???DyxF ?d),( ??D?d解 1: 22 ?? yxD化三重積分 ?????zyxzyxfI ddd),(為三次積分 , 例 22 2 yxz ?? 22 xz ??及所圍成的閉區(qū)域 . ???????22222xzyxz由其中積分區(qū)域?yàn)橛汕? 得交線投影區(qū)域 ? ??? ? ?? ???? 1 1 2 21 1 2 222 2 d),(dd x yxx x zzyxfyxIx yzO22 xz ??22 2 yxz ??22222[ ( , , ) d ]xyxxyDI f x y z z d ???? ?? ?,dddc o s43 zyxzyxIV????.20,10,10),( ?????? ??????? ?zyxzyxV 解 120??I11 3400dd x x y y? ??3420[ c o s ]xyDx y z d z d???? ?例 計(jì)算三重積分 其中 V是長方體 xyzO例 求 ??? ?? ???? ?? zx zyx yeyzxI 10)1(1010 d)1(dd21 11解 2ye? 的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 應(yīng)先
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