【正文】 第 62 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在1. 競(jìng)賽講座 20容斥原理2. 競(jìng)賽講座 21應(yīng)用題選講3. 競(jìng)賽講座 22因式分解4. 競(jìng)賽講座 23完全平方數(shù)5. 競(jìng)賽講座 24判別式與韋達(dá)定理6. 競(jìng)賽講座 25絕對(duì)值與二次根式競(jìng)賽講座20容斥原理在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算。我們用|A|表示有限集合A的元素個(gè)數(shù)(新教材中用表示有限集合A的元素個(gè)數(shù))。原理一：給定兩個(gè)集合A和B，要計(jì)算A∪B中元素的個(gè)數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者說(shuō)把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起）；第二步：減去∣A∩B∣（即“排除”加了兩次的元素）總結(jié)為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣∣A∩B∣。原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：第一步 求|A|+|B|+|C|；第二步 減去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步 加上|A∩B∩C|?！　±? 求不超過(guò)20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。例2 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語(yǔ)文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90以上的有38人。問(wèn)兩科都在90分以上的有多少人？ 例3 某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國(guó)象棋比賽的共有51人，參加國(guó)際象棋比賽的共有30人。同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的共有13人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的7人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人？例4 邊長(zhǎng)分別為6，5，2的三個(gè)正方形，如圖8—5所示放在桌面上。問(wèn)它們蓋住的面積是多大？例5 求1到200的自然數(shù)中不能被5中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少？練習(xí)題1. 某班共有48名學(xué)生，都參加了語(yǔ)文興趣小組或數(shù)學(xué)興趣小組，其中參加語(yǔ)文興趣小組的有30人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有28人，問(wèn)同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少．，一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，把這兩張紙片放在桌面上覆蓋的面積為8，問(wèn)兩張紙片重合部分的面積是多少？3. 不超過(guò)110且與110互質(zhì)的自然數(shù)有幾個(gè)？　　4. 求在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有多少個(gè)?！　?. 某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到了優(yōu)秀。這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：　　 　　求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。　，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)？競(jìng)賽講座21 －應(yīng)用題選講應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)地反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，能否從具體問(wèn)題中歸納出數(shù)量關(guān)系，反映了一個(gè)人分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)際能力.列方程解應(yīng)用題，一般應(yīng)有審題、設(shè)未知元、列解方程、檢驗(yàn)、從中體現(xiàn)解應(yīng)用題的技能和技巧.例1 （1983年青島市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某人騎自行車從A地先以每小時(shí)12千米的速度下坡后，以每小時(shí)9千米的速度走平路到B地，他以每小時(shí)8千米的速度通過(guò)平路后，以每小時(shí)4千米的速度上坡，從B地到A地共用小時(shí)，求A、B兩地相距多少千米？解法1 （選間接元）設(shè)坡路長(zhǎng)x千米，則下坡需依題意列方程：解之，得x=3.答：A、B兩地相距9千米.解法2（選直接元輔以間接元）設(shè)坡路長(zhǎng)為x千米，A、B兩地相距y千米，則有如下方程組解法3（選間接元）設(shè)下坡需x小時(shí)，上坡需y小時(shí)，依題意列方程組：例2 （1972年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若一商人進(jìn)貨價(jià)便誼8%，而售價(jià)保持不變，那么他的利潤(rùn)（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？解 本題若用直接元x列方程十分不易，可引入輔助元進(jìn)貨價(jià)M，x是利潤(rùn)，以百分比表示，那么寫出售貨價(jià)（固定不變）的等式，可得：M（1+）=[1+（x+10）].約去M，得1+=[1+（x+10）].解之，得 x=15.例3 在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間，時(shí)鐘上的分針和時(shí)針在什么時(shí)候重合？分析 選直接元，設(shè)兩針在3點(diǎn)x分鐘時(shí)重合，則這時(shí)分針旋轉(zhuǎn)了x分格，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了（x15）分析，因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的速度是每分鐘1分格，旋轉(zhuǎn)x分格需要分鐘，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度是每分鐘分格，旋轉(zhuǎn)（x15）分格要例4（1985年江蘇東臺(tái)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）從兩個(gè)重為m千克和n千克，且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者的含銅百分?jǐn)?shù)相等，問(wèn)切下的重量是多少千克？解 采用直接元并輔以間接元，設(shè)切下的重量為x千克，并設(shè)m千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q1，n千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克，混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(nx)q2]千克和[xq2+(mx)q1]千克，依題意，有：例5 （1986年揚(yáng)州市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈(zèng)送，先由A給B、C，所給的豆數(shù)等于B、C原來(lái)各有的豆數(shù)，依同法再由B給A、C現(xiàn)有豆數(shù)，后由C給A、B現(xiàn)有豆數(shù)，互送后每人恰好各有64粒，問(wèn)原來(lái)三人各有豆多少粒？解 設(shè)A、B、C三人原來(lái)各有x、y、z粒豆，可列出下表：則有：解得：x=104，y=56，z=32.答：原來(lái)A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.例6（1985年寧波市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某工廠有九個(gè)車間，每個(gè)車間原有一樣多的成品，每個(gè)車間每天能生產(chǎn)一樣多的成品，而每個(gè)檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的速度也一樣快，A組8個(gè)檢驗(yàn)員在兩天之間將兩個(gè)車間的所有成品（所有成品指原有的和后來(lái)生產(chǎn)的成品）檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)另兩個(gè)車間的所有成品，又用了三天檢驗(yàn)完畢，在此五天內(nèi)，B組的檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完畢余下的五個(gè)車間的所有成品，問(wèn)B組有幾個(gè)檢驗(yàn)員？解 設(shè)每個(gè)車間原有成品x個(gè)，每天每個(gè)車間能生產(chǎn)y個(gè)成品；則一個(gè)車間生產(chǎn)兩天的所有成品為（x+2y）個(gè)，一個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為(x+5y)個(gè)，由于A組的8個(gè)檢驗(yàn)員每天的檢驗(yàn)速度相等，可得解得：x=4y一個(gè)檢驗(yàn)員一天的檢驗(yàn)速度為：又因?yàn)锽組所檢驗(yàn)的是5個(gè)車間，這5個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為5(x+5y)個(gè)，而這5(x+5y)個(gè)成立要B組的人檢驗(yàn)5天，所以B組的人一天能檢驗(yàn)(x+5y)個(gè).因?yàn)樗袡z驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度都相等，所以，(x+5y)個(gè)成品所需的檢驗(yàn)員為：（人）.答：B組有12個(gè)檢驗(yàn)員.例7（1985年武漢市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，求猴子的只數(shù)和花生的顆數(shù).解：設(shè)有x只猴子和y顆花生，則： y3x=8, ① 5xy＜5， ② 由①得：y=8+3x, ③③代入②得5x(8+3x)＜5,∴ x＜因?yàn)閥與x都是正整數(shù)，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應(yīng)地求出y的值為26，23，20，17，14，11.經(jīng)檢驗(yàn)知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.例8（1986年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環(huán)數(shù)的積都是36，且總環(huán)數(shù)相等，還已知小王的最高環(huán)數(shù)比小張的最高環(huán)數(shù)多（中箭的環(huán)數(shù)是不超過(guò)10的自然數(shù)），則小王的三次射箭的環(huán)數(shù)從小到大排列是多少？解 設(shè)小王和小張三次中靶的環(huán)數(shù)分別是x、y、z和a、b、c,不妨設(shè)x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有： 因?yàn)榄h(huán)數(shù)為不超過(guò)10的自然數(shù)，首先有z≠10，否則與①式矛盾.若設(shè)z=9,則由①知：xy=4,∴x=2,y=2,或x=1,y=4,∴x+y+z=13或x+y+z=14.又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，這時(shí)，ab=6.∴a=2，b=3，或a=1，b=6∴a+b+c=11或a+b+c=13又由③知：x+y+z=a+b+c=13∴取x=2，y=2，z=9.答：小王的環(huán)數(shù)分別為2環(huán)，2環(huán)，9環(huán).例9（1980年蘇聯(lián)全俄第6屆中學(xué)生物理數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等，起初，每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？解 設(shè)起初有汽車k輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k1)，∴k1=1，或k1=23,即k=2，或k=24.當(dāng)k=2時(shí)，n=45不合題意，當(dāng)k=24時(shí),n=23合題意，這時(shí)旅客人數(shù)為n(k1)=529.答：起初有24輛汽車，有529名旅客競(jìng)賽中常見的應(yīng)用題不一定是以求解的面目出現(xiàn)，還要善于用準(zhǔn)確簡(jiǎn)練的語(yǔ)言來(lái)表述自己正確的邏輯思維.例10（1986年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）有一種體育競(jìng)賽共含M個(gè)項(xiàng)目，有運(yùn)動(dòng)員A、B、C參加，在每個(gè)項(xiàng)目中，第一、二、三名分別得ppp3分，其中ppp3為正整數(shù)且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一，求M的值，并問(wèn)在跳高中誰(shuí)取得第二名？分析 考慮三個(gè)得的總分，有方程：M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, ①又 p1+p2+p3≥1+2+3=6， ②∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，從而M≤6.由題設(shè)知至少有百米和跳高兩個(gè)項(xiàng)目，從而M≥2，又M|40，所以M可取5.考慮M=2，則只有跳高和百米，而B百米第一，但總分僅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，這樣A不可能得22分.若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四項(xiàng)最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.故有：p2=3,p3=1,A最多得三個(gè)第一，一個(gè)第二，一共得分36+3=21＜22，矛盾.若M=5，這時(shí)由5(p1+p2+p3)=40，得：p1+p2+p3=≥2，則：p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.又p1必須大于或等于5,否則,A五次最高只能得20分,與題設(shè)矛盾,所以p1≥5.若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設(shè)矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.A=22=45+2.故A得了四個(gè)第一，一個(gè)第二；B=9=5+41，故B得了一個(gè)第一，四個(gè)第三；C=9=42+1，故C得了四個(gè)第二，一個(gè)第三. 練 習(xí)五（1）打開A、B、C每一個(gè)閥門，注滿水槽需1小時(shí)；只打開A、C兩個(gè)閥門，；如果只打開B、C兩個(gè)閥門，需要2小時(shí)，若只打開A、B兩個(gè)閥門時(shí)，注滿水槽所需的小時(shí)數(shù)是（ ）.（A） （B） （C） （D） (E)（2）兩個(gè)孩子在圓形跑道上從同一點(diǎn)A出發(fā)，按相反方向運(yùn)動(dòng)，他們的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他們同時(shí)出發(fā)并當(dāng)他們?cè)贏點(diǎn)第一次再相遇的時(shí)候結(jié)束，那么他們從出發(fā)到結(jié)束之間相遇的次數(shù)是（ ）.（A）13 （B）25 （C）44 （D）無(wú)窮多 （E）這些都不是（3）某超級(jí)市場(chǎng)有128箱蘋果，每箱至少120只，至多144只，裝蘋果只數(shù)相同的箱子稱為一組，問(wèn)其中最大一組的箱子的個(gè)數(shù)n，最小是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）24 （E）25（4）兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個(gè)瓶子中酒精與水的容積之比是p:1，而在另一個(gè)瓶子中是q:1，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（ ）.（5）汽車A和B行駛同樣的距離，汽車A以每小時(shí)u千米行駛距離的一半并以每小時(shí)υ千米行駛另一半，汽車B以每小時(shí)u千米行駛所行時(shí)間的一半并以每小時(shí)υ千米行駛另一半，汽車A的平均速度是每小時(shí)x千米，汽車B的平均速度是每小時(shí)y千米，那么我們總有（ ）（A）x≤y (B)x≥y (C)x＝y(tǒng) (D)x＜y (E)x＞y（1）已知鬧鐘每小時(shí)慢4分鐘，且在3點(diǎn)半時(shí)對(duì)準(zhǔn)，現(xiàn)在正確時(shí)間是12點(diǎn)，則過(guò)正確時(shí)間______分鐘，鬧鐘才指到12點(diǎn)上.（2）若b個(gè)人c天砌f塊磚，則c個(gè)人用相同的速度砌b塊磚需要的天數(shù)是____.（3）某人上下班可乘火車或汽車，若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車；又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車，在x天中這個(gè)人乘火車9次，早晨乘汽車8次，下午乘汽車15次，則x=_______.（4）一個(gè)年齡在13至19歲之間的孩子把他自己的年齡寫在他父親年齡的后面，從這個(gè)新的四位數(shù)中減去他們年齡差的絕對(duì)值得到4289，他們年齡的和為______.（5）一個(gè)城鎮(zhèn)的人口增加了1200人，然后這新的人口又減少了11%，現(xiàn)在鎮(zhèn)上的人數(shù)比增加1200人以前還少32人，則原有人口為____