【正文】 初等模型 浙江大學數(shù)學建模實踐基地 某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行 員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報了航母當前的航速與方 向，問護衛(wèi)艦應怎樣航行，才能與航母匯合。 167。 艦艇的會合 12,11222?????aabrbaah令： 則上式可簡記成 ： 222 rhyx ?? )(A(0,b) X Y B(0,b) P(x,y) O 航母 護衛(wèi)艦 θ1 θ2 ])([)( 22222 byx a byx ????即： 22222222)1(411????????????????????ababaayx可化為： 記 v2/ v1=a通常 a1 222 |AP|a|BP| ?則 匯合點 p必位于此圓上。 bxy ?? )( t a n 1?（護衛(wèi)艦的路線方程） bxy ?? )( t a n 2?（航母的路線方程 ） 即可求出 P點的坐標和θ2 的值。 本模型雖簡單，但分析極 清晰 且 易于實際應用 167。 雙層玻璃的功效 在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層 玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個簡單 的數(shù)學模 型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。 比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的 差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設 ： 設室內熱量的流失是熱傳導引起的，不存在戶內外的空氣對流。 室內溫 度 T1與戶外溫 度 T2均為常數(shù)。 玻璃是均勻的，熱傳導系數(shù)為常數(shù)。 設玻璃的熱傳導系數(shù) 為 k1，空氣的熱傳導系數(shù) 為 k2，單位時間通過單位面積由溫度高的一側流向溫度低的一側的熱量為 θ d d l 室外 T2 室內 T1 Ta Tb 由熱傳導公式 θ=kΔT/d dTTklTTkdTTk bbaa 21211??????? ?)/()(21212121dklkTTdklkTa ????解得： ? ?dklkdTTkddklkTTdklkTk2121121212111 22)1(?????????此函數(shù)的圖形為 d d 室外 T2 室內 T1 dTTk2211????)/()(2221 dklk?????類似有 32~1621 ?kk一般 dl /811?????故 記 h=l/d并令 f(h)= 181?h0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 h f(h) 考慮到 美觀 和使用上 的 方便 ， h不必取得過大，例如，可 取 h=3，即 l=3d，此時房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時的 3% 。 167。 崖高的估算 假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。 我有一只具有跑 表功能的計算器。 方法一 假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式 來計算。例如， 設 t=4秒， g= /秒 2，則可求得 h≈米。 221 gth ? 我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF ???除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當 屬 空氣阻力 。根據(jù)流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù) K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： kgcev kt ?? ?令 k=K/m， 解得 代入初始條件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有 ktekgkgv ???再積分一次，得： cekgtkgh kt ??? ?2若設 k= t=4秒，則可求 得 h≈。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間 進一步深入考慮 不妨設 平均反應時間 為 ，假如仍 設 t=4秒，扣除反應時間后應 為 ，代入 式 ① ，求得 h≈。 222 )1(kgektkgkgekgtkgh ktkt ?????? ??① 多測幾次，取平均值 再一步深入考慮 代入初始條 件 h(0)=0，得到計算山崖高度的公式： 將 ekt用泰勒公式展開并 令 k→ 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。 還應考慮 回聲 傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落 的真正時間 為 t1，聲音傳回來的時間記 為 t2，還得解一個方程組： ??????????????933401212211.ttthkg)ekt(kghkt這一方程組是非線性 的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石塊下落時間 t1≈tt2將 t1代入式 ① 再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若 h=，則 t2≈秒，故 t1≈，求得 h≈。 最小二乘法 插值方法 當問題的機理非常不清楚難以直接利用其他知識來建模時，一個較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關系即函數(shù)關系。 167。 經(jīng)驗模型 最小二乘法 設經(jīng)實際測量已得 到 n組數(shù)據(jù)（ xi , yi）， i=1,…, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標系中，見 圖。如果建模者判斷 這 n個點很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為 y=ax+b，進而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù) a和 b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關系式，故 yi(axi+b)=0一般不成立，但我們希望 ????niii baxy12)]([最小 此式對 a和 b的偏導數(shù)均 為 0，解相應方程組，求得： ?????????????????xaybxxyyxxani ini ii?????121)())((y=ax+b y O (xi ,yi) x 其中 和 分別為 xi和 yi的平均值 x y如果建模者判斷變量間的關系并非線性關系而是其他類型的函數(shù)，則可作 變量替換 使之轉化為線性關系或用類似方 法 擬合 。 顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運動員體重到底是怎樣關系的，不同量級運動員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運動成績是包括生理條件、心理因素等等眾多相關因素共同作用的結果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗模型。為簡單起見，我們不妨取表中的數(shù)據(jù)為例。 例 1（舉重成績的比較） 舉重 是一種一般人都能看懂的運動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到 1977年底為止九個重量級的世界紀錄。 255 200 110以上 185 110 221 180 90 170 195 75 180