浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模輔導(dǎo)(已修改)
2025-01-28 05:46 本頁面
【正文】 初等模型 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地 某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行 員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。 167。 艦艇的會合 12,11222?????aabrbaah令： 則上式可簡記成 ： 222 rhyx ?? )(A(0,b) X Y B(0,b) P(x,y) O 航母 護(hù)衛(wèi)艦 θ1 θ2 ])([)( 22222 byx a byx ????即： 22222222)1(411????????????????????ababaayx可化為： 記 v2/ v1=a通常 a1 222 |AP|a|BP| ?則 匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 bxy ?? )( t a n 1?（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程） bxy ?? )( t a n 2?（航母的路線方程 ） 即可求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2 的值。 本模型雖簡單，但分析極 清晰 且 易于實(shí)際應(yīng)用 167。 雙層玻璃的功效 在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層 玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單 的數(shù)學(xué)模 型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。 比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的 差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè) ： 設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對流。 室內(nèi)溫 度 T1與戶外溫 度 T2均為常數(shù)。 玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。 設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為 k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為 k2，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 θ d d l 室外 T2 室內(nèi) T1 Ta Tb 由熱傳導(dǎo)公式 θ=kΔT/d dTTklTTkdTTk bbaa 21211??????? ?)/()(21212121dklkTTdklkTa ????解得： ? ?dklkdTTkddklkTTdklkTk2121121212111 22)1(?????????此函數(shù)的圖形為 d d 室外 T2 室內(nèi) T1 dTTk2211????)/()(2221 dklk?????類似有 32~1621 ?kk一般 dl /811?????故 記 h=l/d并令 f(h)= 181?h0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 h f(h) 考慮到 美觀 和使用上 的 方便 ， h不必取得過大，例如，可 取 h=3，即 l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的 3% 。 167。 崖高的估算 假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時(shí)間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。 我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。 方法一 假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動的公式 來計(jì)算。例如， 設(shè) t=4秒， g= /秒 2，則可求得 h≈米。 221 gth ? 我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF ???除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng) 屬 空氣阻力 。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù) K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： kgcev kt ?? ?令 k=K/m， 解得 代入初始條件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有 ktekgkgv ???再積分一次，得： cekgtkgh kt ??? ?2若設(shè) k= t=4秒，則可求 得 h≈。 聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 進(jìn)一步深入考慮 不妨設(shè) 平均反應(yīng)時(shí)間 為 ，假如仍 設(shè) t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為 ，代入 式 ① ，求得 h≈。 222 )1(kgektkgkgekgtkgh ktkt ?????? ??① 多測幾次，取平均值 再一步深入考慮 代入初始條 件 h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將 ekt用泰勒公式展開并 令 k→ 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。 還應(yīng)考慮 回聲 傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為 t1，聲音傳回來的時(shí)間記 為 t2，還得解一個(gè)方程組： ??????????????933401212211.ttthkg)ekt(kghkt這一方程組是非線性 的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石塊下落時(shí)間 t1≈tt2將 t1代入式 ① 再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若 h=，則 t2≈秒，故 t1≈，求得 h≈。 最小二乘法 插值方法 當(dāng)問題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其他知識來建模時(shí)，一個(gè)較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。 167。 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 最小二乘法 設(shè)經(jīng)實(shí)際測量已得 到 n組數(shù)據(jù)（ xi , yi）， i=1,…, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見 圖。如果建模者判斷 這 n個(gè)點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為 y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù) a和 b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi(axi+b)=0一般不成立，但我們希望 ????niii baxy12)]([最小 此式對 a和 b的偏導(dǎo)數(shù)均 為 0，解相應(yīng)方程組，求得： ?????????????????xaybxxyyxxani ini ii?????121)())((y=ax+b y O (xi ,yi) x 其中 和 分別為 xi和 yi的平均值 x y如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作 變量替換 使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方 法 擬合 。 顯然，運(yùn)動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運(yùn)動員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級運(yùn)動員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運(yùn)動成績是包括生理?xiàng)l件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。為簡單起見，我們不妨取表中的?shù)據(jù)為例。 例 1（舉重成績的比較） 舉重 是一種一般人都能看懂的運(yùn)動，它共分九個(gè)重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到 1977年底為止九個(gè)重量級的世界紀(jì)錄。 255 200 110以上 185 110 221 180 90 170 195 75 180
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