線性代數(shù)期末考試試題及答案(已修改)
2025-01-21 10:37 本頁面
【正文】 2022 2022 學(xué)年第一學(xué)期 一． 填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1． ? ? 013 1 2 122 1 1 10??????? ??? ?1520 2. 若 n 階方陣 A 的秩 rn? , 則 A? 0 ． 3．設(shè) 0???xA ， A 是 5 階方陣，且 ?)(AR 3, 則基礎(chǔ)解系中含 2 個(gè)解向量． 4．若３階矩陣 A 的特征值為２，２，３，則 ?A 12 ． 5．設(shè) 21 , ?? 是對(duì)稱陣 A 的兩個(gè)不同的特征值， 21,pp ?? 是對(duì)應(yīng)的特征向量，則 ?],[ 21 pp ?? 0 ． 二． 選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1．若 A 為 3 階方陣，且 2?A ，則 2A??( C )． Ａ． 4 Ｂ． 4 Ｃ． 16 Ｄ． 16 2． 設(shè) BA, 為 n 階方陣，滿足等式 OAB? ，則必有（ Ｂ ）． Ａ． OA? 或 OB? Ｂ． 0?A 或 0?B Ｃ． OBA ?? Ｄ． 0?? BA 3． 設(shè) n 元線性方程組 bxA ??? ，且 nbARAR ?? ),()( ? ，則該方程組 ( Ｂ ) Ａ．有無窮多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．無解 Ｄ．不確定 4．設(shè) P 為正交矩陣，則 P 的列向量（ A ） A．組成單位正交向量組 B. 都是單位向量 C. 兩兩正交 D. 必含零向量 5． 若二次型 ()f ??x xAx 為正定 , 則對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣 A 的特征值 ( Ａ ) Ａ．都大于 0； Ｂ．都大于等于 0； Ｃ．可能正也可能負(fù) Ｄ．都小于 0 三．（ 8 分）計(jì)算行列式 2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2D ? 的值． 解． 21 2 3 4 3 142 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 05 5 51 1 2 1 1 1 2 1 0 0 1 01 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 1rrD r r r r r rrr?? ? ? ? ? ?? 四．（ 8 分）設(shè)?????????100 210321A ，求 1?A ． 解：???????????100 010 001 100210321) ( EA ?????????? ???100 010 021 1002101012 21 rr 13231 0 0 1 2 10 1 0 0 1 22 0 0 1 0 0 1rrrr???? ???? ?? ??????????????1002101211A （或用伴隨矩陣） 五．（ 8 分）求齊次線性方程組?????????????????03203 0 432143214321xxxxxxxxxxxx 的基礎(chǔ)解系及通解． 解：?????????????????321131111111A ???????????????210042001111??????????????000021001111 通解方程組??? ?? ??? 02 043421 xx xxx ，基礎(chǔ)解系???????????????00111??，???????????????12012??，通解為 2211 ?? ?? kk ? ，（ 21 , kk為任意常數(shù)） 六． (8 分 )已知向量???????????32111?? ，????????????11112?? ，???????????53313?? ，求向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余向量用極大線性無關(guān)組表示． 解： ? ??????????????????513312311111, 321 ??? ???A??????????????????220110220111????????????????00000011011????????????????000000110201 極大無關(guān)組 21,???? ，且 213 2 ??? ??? ?? ． 七．（ 10 分）討論 ? 取何值時(shí)，非齊次線性方程組????????????????2321321321)1( )1(0)1( ?????xxxxxxxxx (1) 有唯一解； (2) 無解； (3) 有無窮多解． 解：法 1 )3(1111111112 ??????? ?????A （１） 當(dāng) 0?? 且 3??? 時(shí)，有 0?A ，方程組有惟一解； （２）當(dāng) 3??? 時(shí)，???????????????93 0 112121211A?????????????600033300211 ， 3)(2)( ??? ARAR ，所以無解； （３）當(dāng) 0?? 時(shí)，?????????0000 00000111A ， 1)()( ?? ARAR ，方程組有無窮多解． 法 2 ????????????????????????????22 0001111111110111????????????A ????????????????2)2(000111???????? ????????????????)1()3(0000111???????? 八．（ 8 分）用配方法將二次型 31232221321 422),( xxxxxxxxf ???? 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆的線性變換．（或上屆題？） 解： 2322233121321 62)44(),( xxxxxxxxxf ????? 2322231 62)2( xxxx ???? ， 令?????????3322311 2xyxyxxy ，即?????????3322311 2yxyxyyx ，所以???????????????????? ????????????321321100010201yyyxxx ， 變換矩陣 ,100010201?????????? ??C .01??C 標(biāo)準(zhǔn)形 232221 62 yyyf ??? ． 九．（ 10 分）求矩陣???????????400032020A 的特征值與最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量． 解： )1()4( 2 ????? ??? EA ，特征值 .1,4 321 ???? ??? 當(dāng) 421 ???? 時(shí)，解 0
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