【正文】 12． 設(shè) A 設(shè)方陣 A 滿足 EAA ?? ,則 ?A ____ 1? ________. 13．二次型 2332222121321 2222),( xxxxxxxxxxf ????? 的矩陣的系數(shù)矩陣為： ???????????2 1 01 2 10 1 1A ，該二次型為 正 定二次型 . 二、計算題（共 5分） 得分 設(shè)矩陣 A= ???????? 1 1 1 2, 求矩陣 X, 使 EAAX 2?? 解 由 AX = A+2E 得 )2(1 EAAX ?? ? 2’ ? ? ?????????????????? 5 2 1 0 2 3 0 1~3 1 1 1 1 4 1 2 2 EAA 3’ 即 ????????? 5 2 2 3 X 三、計算題（共 6 分） 已知向量組 .1222,1343,1121,11114321??????????????????????????????????????????????????????????? ＝　＝?。健????? 求向量組 4321 ???? ， 的一組極大線性無關(guān)組 ,并把其余向量用此組向量表示出來 . 解 ? ??????????????????????????????0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1 1 12 3 1 12 4 2 1 2 3 1 14321r???? ， 由此可知 , 421 ,???， 為一組極大線性無關(guān)向量組 , 213 2 ??? ?? 四、計算題（共 6 分） 求非齊次線性方程組??? ???? ????? 2 22 2 43214321 xxxx xxxx 的通解． 解 增廣矩陣 ?????????????????????? 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1~2 1 1 222 1 111 rB 2’ 姓名: 學(xué)號: 系別: 年級專業(yè): ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………線……………………………………線……………………………………… 得分 得分 還原成線性方程組??? ??? 2 4321 xx xx 1’ 可得方程組通解為???????????????????????????????????????????????????????????020011000011214321ccxxxx, 21,cc 為任意常數(shù) . 2’ 五、 限選題 （共 8分） （經(jīng)管類學(xué)生可選做第 2 小題中的一題，理工類學(xué)生 僅 限 做第 2 小題） (1) (理工類學(xué)生 不做此 小題 )已知二次型 31232221 2)( xxxxxxf ???? ， a） 出二次型所對應(yīng)的矩陣 A b） 用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型， C)寫出相應(yīng)的可逆線性變換矩陣。 2022 2022 學(xué)年第一學(xué)期 一． 填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1． ? ? 013 1 2 122 1 1 10??????? ??? ?1520 2. 若 n 階方陣 A 的秩 rn? , 則 A? 0 ． 3．設(shè) 0???xA ， A 是 5 階方陣，且 ?)(AR 3, 則基礎(chǔ)解系中含 2 個解向量． 4．若３階矩陣 A 的特征值為２，２，３，則 ?A 12 ． 5．設(shè) 21 , ?? 是對稱陣 A 的兩個不同的特征值， 21,pp ?? 是對應(yīng)的特征向量，則 ?],[ 21 pp ?? 0 ． 二． 選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1．若 A 為 3 階方陣，且 2?A ，則 2A??( C )． Ａ． 4 Ｂ． 4 Ｃ． 16 Ｄ． 16 2． 設(shè) BA, 為 n 階方陣，滿足等式 OAB? ，則必有（ Ｂ ）． Ａ． OA? 或 OB? Ｂ． 0?A 或 0?B Ｃ． OBA ?? Ｄ． 0?? BA 3． 設(shè) n 元線性方程組 bxA ??? ，且 nbARAR ?? ),()( ? ，則該方程組 ( Ｂ ) Ａ．有無窮多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．無解 Ｄ．不確定 4．設(shè) P 為正交矩陣，則 P 的列向量（ A ） A．組成單位正交向量組 B. 都是單位向量 C. 兩兩正交 D. 必含零向量 5． 若二次型 ()f ??x xAx 為正定 , 則對應(yīng)系數(shù)矩陣 A 的特征值 ( Ａ ) Ａ．都大于 0； Ｂ．都大于等于 0； Ｃ．可能正也可能負(fù) Ｄ．都小于 0 三．（ 8 分）計算行列式 2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2D ? 的值． 解． 21 2 3 4 3 142 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 05 5 51 1 2 1 1 1 2 1 0 0 1 01 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 1rrD r r r r r rrr?? ? ? ? ? ?? 四．（ 8 分）設(shè)?????????100 210321A ，求 1?A ． 解：???????????100 010 001 100210321) ( EA ?????????? ???100 010 021 1002101012 21 rr 13231 0 0 1 2 10 1 0 0 1 22 0 0 1 0 0 1rrrr???? ???? ?? ??????????????1002101211A （或用伴隨矩陣） 五．（ 8 分）求齊次線性方程組?????????????????03203 0 432143214321xxxxxxxxxxxx 的基礎(chǔ)解系及通解． 解：?????????????????321131111111A ???????????????210042001111?????