線性代數(shù)期末考試試題及答案(存儲(chǔ)版)
【正文】 ?????0000 00000111A ， 1)()( ?? ARAR ，方程組有無窮多解． 法 2 ????????????????????????????22 0001111111110111????????????A ????????????????2)2(000111???????? ????????????????)1()3(0000111???????? 八．（ 8 分）用配方法將二次型 31232221321 422),( xxxxxxxxf ???? 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆的線性變換．（或上屆題？） 解： 2322233121321 62)44(),( xxxxxxxxxf ????? 2322231 62)2( xxxx ???? ， 令?????????3322311 2xyxyxxy ，即?????????3322311 2yxyxyyx ，所以???????????????????? ????????????321321100010201yyyxxx ， 變換矩陣 ,100010201?????????? ??C .01??C 標(biāo)準(zhǔn)形 232221 62 yyyf ??? ． 九．（ 10 分）求矩陣???????????400032020A 的特征值與最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量． 解： )1()4( 2 ????? ??? EA ，特征值 .1,4 321 ???? ??? 當(dāng) 421 ???? 時(shí)，解 0)4( ?? ?? xEA 得???????????0211?? ，???????????1002?? ， A 的對(duì)應(yīng)于 421 ???? 的全體特征向量為 2221 ??? ?? kk ?? ， 0( 2221 ??kk ）． 十．（每小題 5 分，共 10 分） 1． 設(shè)向量組 321 , ??? ??? 線性無關(guān)，討論向量組 1 1 2 1 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ?的線性相關(guān)性． 解：令 1 1 2 1 2 3 1 2 3( ) ( ) 0 ,k k k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 1 2 3 1 2 3 2 3 3( ) ( ) 0k k k k k k? ? ?? ? ? ? ? ? 因?yàn)?321 , ??? ??? 線性無關(guān)，所以有 1 2 3223 000k k kkkk? ? ?????????， 由于方程組只有零解，故 1 1 2 1 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ?線性無關(guān)。 8．設(shè) 0???xA ， A 是 43? 階矩陣，基礎(chǔ)解系中含有 1 個(gè)解向量，則 ?)(AR 3 ． 9．設(shè) 21,?? 是對(duì)稱陣 A 的兩個(gè)不同的特征值， 21,pp?? 是對(duì)應(yīng)的特征向量，則 ?],[ 21 pp ?? 0 ． 10．設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的三個(gè)特征值分別為 321， ，則矩陣 A 為 正 定矩陣 , A 的行列式 ?A 6 . 11．二次型 32232221321 2),( xxxxxxxxf ???? 所對(duì)應(yīng)的矩陣為???????????110110001A , 該矩陣的最大特征值是 2 , 該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是 0,110????????????cc . 二、選擇題（共 20分每空 2分） 1． 設(shè) n 元線性方程組 bxA ??? ，且 1),( ?? nbAR ? ，則該方程組 ( B) Ａ．有唯一解Ｂ．有無窮多解 Ｃ．無解 Ｄ．不確定 2. 設(shè) n 元線性方程組 OxA ??? ，且 kAR ?)( ，則該方程組的基礎(chǔ)解系由 ( C ) 個(gè)向量構(gòu)成 . Ａ．有無窮多個(gè) Ｂ．有唯一個(gè) Ｃ． kn? Ｄ．不確定 3． 設(shè)矩陣 BA, ， C 為 n 階方陣，滿足等式 CAB? ，則下 列錯(cuò)誤的論述是（ B ）． Ａ . 矩陣 Ｃ 的行向量由矩陣 A 的行向量線性表示 ； Ｂ．矩陣 Ｃ 的列向量由矩陣 A 的列向量線性表示； C． CBA ?? 。030 21 ??? ?? ），（ 請(qǐng)把向量組 21 ??， 表示成向量組 321 ??? ， 的線性組合 . 姓名: 學(xué)號(hào): 系別: 年級(jí)專業(yè): ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………線……………………………………線……………………………………… 得分 得分 解 ? ??????????????????????1 2 1 0 01 1 0 1 0 4 2 0 0 1~1 0 1 2 21 1 2 1 2 0 0 2 2 1214321r?????? ， 4’ 由此可知 3211 22 ???? ??? 3212 4 ???? ??? 2’ 四、計(jì)算題（共 6 分） 非齊次線性方程組?????????????????2321321321 1 ?????xxxxxxxxx當(dāng) ? 取何值時(shí)（ 1）無解；（ 2）有唯一解；（ 3） 有無窮解，并相應(yīng)的通解． 解 方程組的系數(shù)矩陣?????????????? 1 11 1 1 1 A 的行列式 2)1)(2( ??? ??A 2’ （ 1） 當(dāng) 21 ??? ?? 且 時(shí)，方程有唯一解； 1’ （ 2） 當(dāng) 2?? 時(shí)，方程組無解； 1’ （ 3） 當(dāng) 1??? 時(shí)，增廣矩陣??????????0 0 0 00 0 0 01 1 1 1~rB ，可得方程組有無窮多解 通解為?????????? ??????????????????????????00110101121 ccX 2’ 得分 五、 計(jì)算題 （共 8 分） 試求一個(gè)正交的相似變換矩陣 , 把矩陣???????????210120001A 化為對(duì)角矩陣 解 解特征方程 0?? EA ? ，得特征值 31 321 ??? ??? ， 3’ 解方程 OXA ?? )( 1? ,得相應(yīng)的特征向量??????????
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