線性代數(shù)期末考試試題及答案-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 ?????????000021001111 通解方程組??? ?? ??? 02 043421 xx xxx ，基礎(chǔ)解系???????????????00111??，???????????????12012??，通解為 2211 ?? ?? kk ? ，（ 21 , kk為任意常數(shù)） 六． (8 分 )已知向量???????????32111?? ，????????????11112?? ，???????????53313?? ，求向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并把其余向量用極大線性無(wú)關(guān)組表示． 解： ? ??????????????????513312311111, 321 ??? ???A??????????????????220110220111????????????????00000011011????????????????000000110201 極大無(wú)關(guān)組 21,???? ，且 213 2 ??? ??? ?? ． 七．（ 10 分）討論 ? 取何值時(shí)，非齊次線性方程組????????????????2321321321)1( )1(0)1( ?????xxxxxxxxx (1) 有唯一解； (2) 無(wú)解； (3) 有無(wú)窮多解． 解：法 1 )3(1111111112 ??????? ?????A （１） 當(dāng) 0?? 且 3??? 時(shí)，有 0?A ，方程組有惟一解； （２）當(dāng) 3??? 時(shí)，???????????????93 0 112121211A?????????????600033300211 ， 3)(2)( ??? ARAR ，所以無(wú)解； （３）當(dāng) 0?? 時(shí)，?????????0000 00000111A ， 1)()( ?? ARAR ，方程組有無(wú)窮多解． 法 2 ????????????????????????????22 0001111111110111????????????A ????????????????2)2(000111???????? ????????????????)1()3(0000111???????? 八．（ 8 分）用配方法將二次型 31232221321 422),( xxxxxxxxf ???? 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆的線性變換．（或上屆題？） 解： 2322233121321 62)44(),( xxxxxxxxxf ????? 2322231 62)2( xxxx ???? ， 令?????????3322311 2xyxyxxy ，即?????????3322311 2yxyxyyx ，所以???????????????????? ????????????321321100010201yyyxxx ， 變換矩陣 ,100010201?????????? ??C .01??C 標(biāo)準(zhǔn)形 232221 62 yyyf ??? ． 九．（ 10 分）求矩陣???????????400032020A 的特征值與最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量． 解： )1()4( 2 ????? ??? EA ，特征值 .1,4 321 ???? ??? 當(dāng) 421 ???? 時(shí)，解 0)4( ?? ?? xEA 得???????????0211?? ，???????????1002?? ， A 的對(duì)應(yīng)于 421 ???? 的全體特征向量為 2221 ??? ?? kk ?? ， 0( 2221 ??kk ）． 十．（每小題 5 分，共 10 分） 1． 設(shè)向量組 321 , ??? ??? 線性無(wú)關(guān)，討論向量組 1 1 2 1 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ?的線性相關(guān)性． 解：令 1 1 2 1 2 3 1 2 3( ) ( ) 0 ,k k k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 1 2 3 1 2 3 2 3 3( ) ( ) 0k k k k k k? ? ?? ? ? ? ? ? 因?yàn)?321 , ??? ??? 線性無(wú)關(guān)，所以有 1 2 3223 000k k kkkk? ? ?????????， 由于方程組只有零解，故 1 1 2 1 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ?線性無(wú)關(guān)。211 ）（， ??? ??? 得分 5 ．若向量 )3,2(),2,1(),7,4( 21 ?????? ??? ，則 ? 用 21,? 組 合 的 表 達(dá)式 是212 ??? ?? . 6．向量組 )3,1,3(39。 APP ， 2’ 2022 2022 學(xué)年第一學(xué)期 C卷 一、填空題（共 60 分每空 3分） 1．行列式： ?322232223 28 ，它的第 2行第 3列元素 1的代數(shù)余子式23A = 2 . 2．若 BA， 為 3 階方陣，且 2?A ， 2?B ，則 ?? A2 16 ， ??? )( BA 4 ， ??1A 1/2 . 得分 得分 3. 設(shè)???????????210110001A , ???????????200020001B , 則 ??BA ??????????420220001 , 1?A = ????????????110120001. 4．設(shè) A 是３階方陣 , 3?A ，則： ??? 131312121111 AaAaAa 3 , ??? 231322122111 AaAaAa 0 . 5. 向量 ），（ 1 0 1??? 與向量 ），（ 0 1 1 ???? ，則 : 的與 ?? 夾角 = 3? ， 6．向量 ），（ 3 2 11 ??? ），（ 1 2 32 ??? ， ），（ 1 1 13 ??? ，則向量組 321 ??? ， 的秩等于 2 ，該組向量線性 相 關(guān) . 7. 設(shè)???????????20001101?A , ???????????001B , ???????????321xxxX ,則 當(dāng) ?? 0 時(shí)，線性方程組 BAX? 有唯一解； 當(dāng) 2?? 時(shí)，線性方程組 BAX? 的解 X? = （ 1， 1， 0）
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