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機械優(yōu)化設計約束優(yōu)化方法(已修改)

2025-01-20 15:11 本頁面
 

【正文】 第五章 有約束優(yōu)化方法 167。 51 引言 167。 52 隨機方向法 167。 53 復合形法 167。 54 可行方向法 167。 55 懲罰函數(shù)法 167。 56 序列二次規(guī)劃法 167。 51 引言 機械優(yōu)化設計中的問題,大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設計問題,其數(shù)學模型為 m i n ( ) ,. . ( ) 0 1 , 2 , ,( ) 0 1 , 2 , ,njkfRs t g j mh k l??????????xxxx 上一章討論的都是無約束條件下非線性函數(shù)的尋優(yōu)方法,但在實際工程中大部分問題的變量取值都有一定的限制,也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。 與無約束問題不同,約束問題目標函數(shù)的最小值是滿足約束條件下的最小值,即是由約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值。只要由約束條件所決定的可行域是一個凸集,目標函數(shù)是凸函數(shù),其約束最優(yōu)解就必是全域最優(yōu)解。否則,將由于所選擇的初始點的不同,而探索到不同的局部最優(yōu)解上。在這種情況下,探索結果經(jīng)常與初始點的選擇有關。為了能得到全局最優(yōu)解,在探索過程中最好能改變初始點,有時甚至要改換幾次。 ( 1)直接法 直接法包括:網(wǎng)格法、復合形法、隨機試驗法、隨機方向法、可變?nèi)莶罘ê涂尚蟹较蚍ā? ( 2)間接法 間接法包括:罰函數(shù)法(內(nèi)點罰函數(shù)法、外點罰函數(shù)法、混合罰函數(shù)法)、廣義乘子法、廣義簡約梯度法和約束變尺度法等。 根據(jù)求解方式的不同,約束優(yōu)化設計問題可分為 :直接解法、間接解法。 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題,思路是在 m個不等式約束條件所確定的可行域內(nèi),選擇一個初始點,然后決定可行搜索方向 d 且以適當?shù)牟介L ,進行搜索,得到一個使目標函數(shù)值下降的可行的新點,即完成一次迭代。再以新點為起點,重復上述搜索過程,直至滿足收斂條件。 ?1 ( 0 , 1 , 2 , )k k kk dk?? ? ? ?xxk?kd步長 可行搜索方向 可行搜索方向 :當設計點沿該方向作微量移動時,目標函數(shù)值將下降,且不會越出可行域 。 間接解法的基本思路是按照一定的原則構造一個包含原目標函數(shù)和約束條件的新目標函數(shù),即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標函數(shù)進行無約束優(yōu)化計算,從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。 167。 52 隨機方向法 基本思想:利用計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)所構成的隨機方向進行搜索 , 產(chǎn)生的新點必須在可行域內(nèi) , 即滿足直接法的特性 。 隨機方向法 , 是約束最優(yōu)化問題的一種常用的直接求解方法 。 它和隨機梯度法 、 Gauss- Seidel法等都屬于約束隨機法 。 其基本原理如圖所示 , 在約束可行域 S內(nèi)選取一個初始點 X(0), 在不破壞約束的條件下以合適的步長 a。 沿 X(0)點周圍幾個不同的方向 ( 以某種形式產(chǎn)生的隨機方向 )進行若干次探索 , 并計算各方向上等距離 ( 步長 a。 )點的函數(shù)值 , 找出其中的最小值 f( X(l)) 及點 X(l)。 若 f( X(l)) < f( X(0)) , 則繼續(xù)沿方向 ( X(l)X(0)) 以適當?shù)牟介L a向前跨步 , 得到新點 X(1), 若 f( X(1)) 老 f( X(l)) , 則將新的起點移至 X(1) , 重復前面過程 。 否則應縮短步長 a, 直至取得約束好點 。 如此循環(huán)下去 。當?shù)牟介L已經(jīng)很小時 , 則表明已經(jīng)逼近約束最優(yōu)點。 達到計算精度要求時 , 即可結束迭代計算 。 圖 約束隨機方向探索法的基本原理 ? ? 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,ji i n j N? ??,? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1212 2 2 21211 , 2 ,jjjj j jnjnd j N??? ? ???????????????? ??? ? ????? ????1 產(chǎn)生隨機方向的方法 在 n 維設計空間中 在 [ 1 , 1] 區(qū)間內(nèi) , 產(chǎn)生 n N 個均勻分布的偽隨機數(shù) 計算 , nii ,2,1 ???1 , 2 , ,i i ia x b i n? ? ?? ? ? ?0 1 , 2 , ,i i i i ix a b a i n?? ? ? ? ? 產(chǎn)生隨機初始點 利用 n 個在 [ 0 , 1] 內(nèi)均勻分布的偽隨機數(shù)和邊界約束 產(chǎn)生隨機點 X(0) 復合形法是求解約束非線性最優(yōu)化問題的一種重要的直接方法 。 它來源于用于求解無約束非線性最優(yōu)化問題的單純形法 , 實際上是單純形法在約束問題中的發(fā)展 。 如前所述 , 在求解無約束問題的單純形法中 , 不需計算目標函數(shù)的梯度 , 而是靠選取單純形的頂點并比較各頂點處目標函數(shù)值的大小 , 來尋找下一步的探索方向的 。 在用于求解約束問題的復合形法中 , 復合形各頂點的選擇和替換 , 不僅要滿足目標函數(shù)值的下降 , 還應當滿足所有的約束條件 。 167。 53 復合形法 基本思想:在可行域中選取 K 個設計點 (n+1≤K≤2n) 作為初始復合形的頂點 。 比較各頂點目標函數(shù)值的大小 , 去掉目標函數(shù)值最大的頂點 (稱最壞點 ), 以壞點以外其余各點的中心為映射中心 , 用壞點的映射點替換該點 , 構成新的復合形頂點 。 反復迭代計算 , 使復合形不斷向最優(yōu)點移動和收縮 , 直至收縮到復合形的頂點與形心非常接近 , 且滿足迭代精度要求為止 。 令: X(4)= X(0)+α(X(0)X(H)) 稱 X(4)為映射點,記為 X(R), α為映射系數(shù),通常取α=,可根據(jù)實際情況進行縮減。 取次好點和好點連線的中點為 X(0)。 一般情況下,映射點的函數(shù)值比壞點的函數(shù)值要小,即 F(X(R)) F(X(H))。若滿足可行域,則用 X(R)代替X(H)構成新的復合形。如此反復迭代直到找到最優(yōu)解。 在可行域內(nèi)任選三個初始點 X(1)、 X(2)、 X(3), 連接這三點形成一個三角形 , 此三角形稱為初始復合形 。 計算各個頂點函數(shù)值 F(X(1))、 F(X(2))、 F(X(3)), 找出最大值 , 記為壞點 X(H)。 最小值 , 記為最好點 X(L)。 在次好點和好點連線與壞點反向一側(cè)的各點應具有較小的目標值 。 在迭代過程中 , 按映射系數(shù) α= , 不一定滿足適用性和可行性 , 如出現(xiàn)此情況 , 將映射系數(shù)減半 , 重新取得 X(R), 使它滿足適用性和可行性 。 一、初始復合形的構成 復合形的頂點 K通常取 n+1≤K≤2n個。對于維數(shù)較低的優(yōu)化問題,由于頂點數(shù)目較少,可試湊幾個可行點作為復合形的頂點。對于維數(shù)較高的問題,采用隨機方法,先產(chǎn)生 K個隨機點,然后再把非可行點逐一調(diào)入可行域內(nèi)。 產(chǎn)生 K個隨機點 xi= ai +ξi (bi ai) i=1,2,….,n ξi為( 0, 1)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的均勻分布的隨機數(shù),需要 n個隨機數(shù)產(chǎn)生一個點 X (1)。同樣,產(chǎn)生其它的隨機點 X (2)、X (3)、 ……X (K)。 將非可行點調(diào)入可行域 將產(chǎn)生的 K個隨機點進行判斷是否在可行域內(nèi),重新排列,將可行點依次排在前面,如有 q個頂點 X (1)、 X (2)、 ……X (q)是可行點,其它 Kq個為非可行點。對X (q+1),將其調(diào)入可行域的步驟是: ( 1)計算 q個點集的中心 X (s); ( 2)將第 q+1點朝著點 X (s)的方向移動,按下式產(chǎn)生新的 X (q+1),即 X(q+1)= X(s)+ (X(q+1)— X(s)) 這個新點 X(q+1)實際就是 X(s)與原 X(q+1)兩點連線的中點 , 如圖 。 若新的 X(q+1)點仍為非可行點 , 按上式再產(chǎn)生X(q+1), 使它更向 X(s)靠攏 , 最終使其成為可行點 。 按照這個方法 , 同樣使 X (q+2)、 X (q+3)、 …… X (K)都變?yōu)榭尚悬c , 這 K個點就構成了初始復合形 。 二、復合形法的迭代步驟 ( 1)構造初始復合形; ( 2)計算各頂點的函數(shù)值 F(X(j)), j=1,2,….,K 。選出好點X(L)和壞點 X(H)。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ): ( ) m in { ( ) , 1 , 2 , , }: ( ) m a x { ( ) , 1 , 2 , , }L L jH H jX F X F X j KX F X F X j K????( 3)計算壞點外的其余各頂點的中心點 X(0)。 ()011,1KjjX X j HK ???? ?( 4)計算映射點 X(R) 檢查 X(R)是否在可行域內(nèi)。若 X(R)為非可行點,將映射系數(shù)減半后再按上式改變映射點,直到 X(R)進入可行域內(nèi)為止。 ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( )()RHX X X X?? ? ?( 5)構造新的復合形 計算映射點的函數(shù)值 F(X(R)),并與壞點的函數(shù)值F(X(H))比較,可能存在兩種情況: 1)映射點優(yōu)于壞點 F(X(R)) F(X(H)) 在此情況,用 X(R)代替 X(H),構成新的復合形。 若經(jīng)過多次的映射系數(shù)減半,仍不能使映射點優(yōu)于壞點,則說明該映射方向不利,此時,應改變映射方向,取對次壞點 ( ) ( ) ( ): ( ) m a x{ ( ) , 1 , 2 , , , }SH SH jX F X F X j K j H? ? ?的映射。 ()01( ) ( 0 ) ( 0 ) ( )1,1()KjjR SHX X j SHkX X X X?????? ? ??再轉(zhuǎn)回本步驟的開始處,直到構成新的復合形。 2) 映射點次于壞點 F(X(R)) 〉 F(X(H)) 這種情況由于映射點過遠引起的 , 減半映射系數(shù) ,若有 F(X(R)) F(X(H)), 這又轉(zhuǎn)化為第一種情況 。 (6)判斷終止條件 1)各頂點與好點函數(shù)值之差的均方根值小于誤差限,即 1( ) ( ) 2 211{ [ ( ) ( ) ] }K jLjF X F XK ?????2)各頂點與好點的函數(shù)值之差的平方和小于誤差限,即 3)各頂點與好點函數(shù)值差的絕對值之和小于誤差限,即 如果不滿足終止迭代條件,則返回步驟 2繼續(xù)進行下一次迭代;否則,可將最后復合形的好點 X(L)及其函數(shù)值F(X(L))作為最優(yōu)解輸出。 ( ) ( )1( ) ( )KjLjF X F X ?????( ) ( ) 21[ ( ) ( ) ]KjLjF X F X ?????方法特點 ( 1) 復合形法是求解約束非線性最優(yōu)化問題的一種直接方法 , 僅通過選取各頂點并比較各點處函數(shù)值的大小 , 就可尋找下一步的探索方向 。 但復合形各頂點的選擇和替換 , 不僅要滿足目標函數(shù)值下降
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