【正文】 1 習(xí)題 22 2 222 2 2 22 2 2 2 222223.3 3 , , .3 , 3 .3 , 3 1 3 2. 9 6 1 , 9 12 4 , 31. 3 , 9 3 , 3 , 3 . ,., , , ,ppp q p q pqqp p k p k p k k p k kp p k k q q k q p qppaap a b p a pbbb? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?證明 為無理數(shù)若 不是無理數(shù),則 為互素自然數(shù) 除盡必除盡 否則 或 除將余 故 類似得 除盡 與 互素矛盾.設(shè) 是正的素?cái)?shù) 證明 是無理數(shù)設(shè) 為互素自然數(shù),則 素證 2.證 1.22 2 2 2 22,. , . . ,:( 1 ) | | | 1 | 3.\ 。 ( 2) | 3 | 2.0 , 1 3 , 2 2 , 1 , ( 1 , 0)。0 1 , 1 3 , 1 3 , ( 0 , 1 ) 。1 , 1 3 , 3 / 2 , ( 1 , 3 / 2).( 1 , 0) ( 0 , 1 )p a p aa pk p k pb pk b p b a bx x xx x x x xx x xx x x xX? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?數(shù) 除盡 故 除盡類似得 除盡 此與 為互素自然數(shù)矛盾.解下列不等式若則若則若則3.解 ( 1 )2 2 2( 1 , 3 / 2).( 2) 2 3 2 , 1 5 , 1 | | 5 , 1 | | 5 , ( 1 , 5 ) ( 5 , 1 ) ., ( 1 ) | | | | | | 。 ( 2) | | 1 , | | | | 1.( 1 ) | | | ( ) | | | | | | | | | , | | | | | | .( 2) | | | ( ) | | | | | |x x x x xa b a b a b a b a ba a b b a b b a b b a b a ba b a b b a b b?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?設(shè) 為任意實(shí)數(shù) 證明 設(shè) 證明證4 . ,| 1.( 1 ) | 6 | 。 ( 2) | | .6 6 . . ( , ) ( , ) .( 2) 0 , ( , ) ( , ) 。 0 , 。 0 , ( , ) .11 , 0 1 , .1 , 1. 1 1nnnnx x a lx x x x Xl X a l a l l x a l Xaa a nna a b a a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?解下列不等式或或若 若 若若 證明 其中 為自然數(shù)若 顯然解( 1 )證5 . :6.120000( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .( , ) , ( , ) .1 / 10 .{ | } . ( , ) , , { | } ,10{ | } . / 10 , ( 1 ) / 10 ,/ 10 ( 1 ) / 10 1 / 10nnnnnnnnnnn n na b b n aa b a bn b amA A m A a b A B C B A x x bC A x x a B m m Cb a m m??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?Z設(shè) 為任意一個開區(qū)間 證明 中必有有理數(shù)取自然數(shù) 滿 足 考慮有理數(shù)集合= 若則中有最小數(shù)=證7.( , ) , ( , ) .1 / 10 . { 2 | } .10nnnna b a bmn b a A m? ? ? ? ? Z, 此與 的選取矛盾. 設(shè) 為任意一個開區(qū)間 證明 中必有無理數(shù)取自然數(shù) 滿 足 考慮無理數(shù)集合 以 下仿8題 .8.證習(xí)題 2 64266 4 2 6 4 2 66 6 613. 1 ( 1 , )( 1 ) ( 1 ) 1 11 ( 1 ) .1 1 2 113. ( , ) .13| | 1 3 , | | 1 , 3 ,11| | 3 , ( , ) .y x xx x x xy x x xx x x xx x xyxx x x x x x xxxx x xy y x? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ??證明函數(shù) 在 內(nèi)是有界函數(shù).研究函數(shù) 在 內(nèi)是否有界時, 時證解 習(xí)題 221. ( 1 ) l i m ( 0) 。 ( 2) l i m 。 ( 3 ) l i m 。 ( 4) l i m c os c os .| | | | | |1 ) 0 , | | , ,||, | | . , | | , | | , l i m .( 2) 0xax a x a x a x axax a a x a e e x ax a x a x axax a x a axax a a a x a x a x aa????? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???直接用 說法證明下列各極限等式:要使 由于只需 取 則當(dāng) 時 故證( 222 2 2 2, | | 1. | | | | | | ,| | | | | 2 | 1 | 2 | ,1 | 2 | ) | | , | | . m i n{ , 1 } , | | ,1 | 2 | 1 | 2 || | , l i m( 3 ) 0 , . | | ( 1 ) , 0 1 ) , 1xax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aaax a x ax a e e e e ee???? ? ????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?不妨設(shè) 要使 由于只需( 取 則當(dāng) 時故設(shè) 要使 即 (. 1,0 l n 1 , m i n{ , 1 } , 0 , | | ,1 | 2 |l i m l i m l i m0 , | c os c os | 2 si n si n 2 si n si n | | ,2 2 2 2, | , | c os c osxaaxaax a x a x ax a x a x aeex a x a e eeae e e e e ex a x a x a x ax a x ax a x a???? ? ??? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?取 則當(dāng) 時故 類似證 故要使取 則當(dāng)| 時. . .(4)20| , l i m c os c os .2. l i m ( ) , ( , ) ( , ) , ( ).1 , 0 , 0 | | , | ( ) | 1 ,| ( ) | | ( ) | | ( ) | | | 1 | | .( 1 ) 1( 1 ) l i m l i m2xaxaxxxaf x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxx???? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????故設(shè) 證明存在 的一個空心鄰域 使得函數(shù) 在該鄰域內(nèi)使有界函數(shù)對于 存在 使得當(dāng) 時 從而求下列極限證 3 . :200222220 0 0002212202l i m ( 1 ) 1.222 si n si n1 c os 1 1 122( 2) l i m l i m l i m 1 .2 2 221( 3 ) l i m l i m ( 0) .( ) 222( 4) l i m .2 2 3 32( 5 ) l i m22xx x xxxxxx x xxxxxxxxx a a xax x x a a axxxxxxxx?? ? ??????? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?????????? ? ???? ? ??? ? ?????2.33??? 3 20 10 3030 3000223 2 21 1 121( 2 3 ) ( 2 2) 2( 6) l i m 1.( 2 1 ) 21 1 2( 7 ) l i m l i m 1.( 1 1 )1 3 1 3 2( 8 ) l i m l i m l i m1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2)l i m l i m( 1 ) ( 1 )xxxx x xxxxxxx x xx x x xx x x xx x x x x x x xxxx x x????? ? ? ? ? ????????? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ?2144421 0 0( 2) 31.( 1 ) 31 2 3 ( 1 2 3 ) ( 2)( 1 2 3 )( 9) l i m l i m2 ( 2)( 2)( 1 2 3 )( 2 8 ) ( 2) 2 4 4l i m .63( 4)( 1 2 3 )( 1 )1 ( 1 ) 12( 10 ) l i m l i m l i m .1( 11 ) l i mxxxnnnx y yxxxxx x x xx x x xxxxxnnny y yxynx y yx?????? ? ?????? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ??? ?2222101100100101001014221 1 l i m 0.11( 12 ) l i m ( 0) ./,( 13 ) l i m ( 0) 0 , , .8 1 8( 14 ) l i m l i m1xmmmmnnnxnnmmmnnxnxxxxxa x a x a abb x b x b ba b m na x a x aa b n mb x b x bmnxx?????????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ??? ? ?????????42/1.1 1 /xx?? 3320223 3 3 3 3 3220 2 3 3 3 3220 3 3 3 3220 3 3 3 31 3 1 2( 15 ) l i m( 1 3 1 2 ) (